4.09.12г.

Гр:2122

Лекция началась с переклички. Сегодня мы с вами познакомимся с новыми понятиями в математике, изучим новые формулы и научимся применять их на практике. И так, записываем большой раздел « Комбинаторика» мы с вами пока вводный курс пройдем кратко познакомимся с основным материалом, с которым вы позже будите более подробно знакомится.

Тема лекции: Элементы теории соединений (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без повторений). Бином Ньютона.

Комбинаторика (теория соединений) занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы

Если элемент А может быть выбран из данного множества n способами, и после этого элемент В может быть выбран m способами, то выбор элемента А или В может быть сделан (n+m) способами. ( все понятия и формулы записываются, примеры подробно расписываются, совместно обсуждаем условие и находим решение, применяя изученные формулы,)

Пример 1:

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение:

Данное множество – множество всех тем по алгебре и геометрии.

Обозначим: элемент А – выбранная тема по алгебре, В – выбранная тема по геометрии, т.е. выбрать тему по алгебре можно 17-ю способами n=17, а выбрать тему по геометрии – 13-ю способами m=13.

по правилу суммы: n+ m =17+13=30 тем.

Пример 2:

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать

а) один билет из спортлото или автомотолотереи?

б) один билет из денежно-вещевой лотереи или автомотолотереи?

в) один билет из денежно-вещевой лотереи, спортлото или автомотолотереи?

Решение:

Обозначим:

Д-В – элемент А, n=5;

Сп. – элемент В, m=6;

Ав. – элемент С, k=10.

а) денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то по правилу суммы m+ k = 6+10=16.

б) билеты спортлото в выборе не участвуют, тогда n + k = 5+10=15.

в) участвуют все билеты, т.е n + m + k=6+5+10=21.

Правило произведения

Если элемент A можно выбрать n способами из указанного множества, и после этого элемент B может быть выбран m способами, то выбор пары А и В может быть сделан (n m) способами.

Пример 3:

В книжном шкафу на двух полках стоят книги. На первой полке – 5 книг, а на второй – 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй ?

Решение: Книгу с первой полки можно выбрать 5-ю способами, т.е. n=5, книгу со второй полки можно выбрать 10-ю способами, т.е. m=10. Для ответа на вопрос задачи воспользуемся правилом произведения.

5 10=50 способов.

Пример 4:

В лотерее каждому участнику даётся трёхзначный номер от 000 до 999. Организаторы лотереи решили, что выигрышными будут те номера, в которых есть хоть одна восьмерка. Сколько будет невыигрышных номеров?

Решение:

Первую цифру числа можно записать 9-ю способами, т.к. без восьмёрки n=9. Вторую и третью цифры числа можно также записать 9-ю способами m=9, k=9. Воспользуемся правилом произведения

m n k=9 9 9=729 проигрышных номеров.

Пример 5:

В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И.С. Тургенева «Рудин», три издания его же романа «Дворянское гнездо» и четыре издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?

Решение:

Рудин – 6 .

Дв. гнездо – 3

От. и дети – 4

- 5 изд

- 7 изд.

Воспользуемся правилами суммы и произведения:

6∙3∙4 + 5∙4 + 6∙7=72+20+42=134

Перед изучение следующей темы, повторим со школы теорию вероятности, ее формулы, повторим что такое факториал, как его находить и где применять. И так записываем следующую тему: