Упорядоченные и неупорядоченные выборки

Имеется множество, содержащее n элементов. Из этого множества выбрано m элементов.

Выбор может производиться с возвращением и без возвращения.

Выборки могут быть упорядоченными или неупорядоченными.

Выбор без возвращения.

1) В упорядоченных выборках важно, какие элементы их составляют, и в каком порядке они расположены. Упорядоченные выборки называются размещениями.

Число размещений из n по m – А

А = ₍₁₎

Пример:

Сколько можно образовать различных четырехзначных чисел, чтобы цифры не повторялись?

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

n=10, m=4

Считаем число размещений, так как важен в каком порядке выбираются цифры:

2) Частным случаем размещений являются перестановки. Они содержат одинаковый набор элементов и отличаются лишь порядком этих элементов.

Число перестановок -

₍₂₎

_{Что такое факториал, кто помнит, как его можно расписать. Студент выходит к доске и расписывает, вместе с группой вспомнили и перешли к решению примеров.}

_{Пример 6:}

_{Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр (1;6;8), чтобы цифры не повторялись?}

_{Решение:}

_{Считаем число перестановок, так как из 3х элементов выбираем 3:}

3) Неупорядоченными называются выборки, в которых порядок расположения не важен, а важно лишь какие элементы составляют выборку. Неупорядоченные выборки называются сочетаниями.

Число сочетаний из n по m -

(3)

или ₍₄₎

_{Пример 7:}

В группе 10 человек. Нужно выбрать трех человек на одну и ту же должность. Сколько существует способов для выбора?

Решение:

Находим число сочетаний из 10 по 3(т.к. порядок не важен): способов.

Свойства сочетаний

• , если n<k или k<0;

• , ;

• ;

• Рекуррентная формула (выражает следующее через предыдущее)

,

_{Задания записывают в тетрадь, затем далось 20 мин., для самостоятельной работы. Далее каждую задачу разобрали у доски до полного усвоения материала, студенты выходили к доске и объясняли какдый ход решения, что и от куда взяли и почему такой ответ.}

Задания

1. Имеются 5 красок. Сколько существует способов для

а) выбора трех красок;

б) раскрашивания трехцветного полосатого флага с заданным направлением полос;

в) для раскрашивания трехцветного флага с заданным направлением полос, если одна полоса должна быть красной?

Решение:

а) Находим число сочетаний из 5 по 3 (т.к. порядок не важен)

способов.

б) Находим число размещений из 5 по 3 (т.к. важен порядок)

способов

в)

или или

Находим в каждом случае число размещений из 4 цветов (т.к. пятый уже занят – красный ) по 2 (т.к. цвет третьей полосы уже известен). А затем сложим их.

способов в каждом случае.

12+12+12=36 способов.

2. В группе 7 юношей и 5 девушек. Сколько существует способов для выбора 6 человек , чтобы среди них было не менее 4-х юношей.

Решение:

ю ю ю ю д д или

ю ю ю ю ю д или

ю ю ю ю ю ю

3. Среди 10 команд разыгрывается 3 комплекта медалей: золото, серебро, бронза. Сколько существует способов распределения?

Решение:

Находим число размещений из 10 по 3 (т.к. важен порядок):

_{Начало второй пары, знакомство с понятие Бином Ньютона.}

_{Записывается формула с полным пояснением,.}