1.2 Функция, отображение, оператор

Нас будут прежде всего интересовать однозначные соответствия. Соответствие называется однозначным, если каждый элемент имеет не более, чем один образ.

Однозначное соответствие называется отображением; термины функция и оператор формально имеют абсолютно такой же смысл – это однозначные отображения.

Отступление о терминах. Конечно, кажется странным, почему для одного понятия введены три разных термина. Отчасти это объясняется историческими причинами, но есть и некоторые различия в употреблении этих терминов. Так, слово «функция» применяют обычно к отображениям числовых множеств, несколько реже – к точечным множествам и матрицам, в то время как «отображение» обычно относится к множествам неопределенной (любой) природы, а также к тем случаям, когда соответствию можно придать характер «картинки». Ну а в термине «оператор» подчеркивается его процедурный характер, т.е. описание соответствия носит характер описания действия (операции). Следуя указанному соответствие «зрители – места», которое мы описали выше, можно трактовать как отображение, реже в подобных ситуациях используется термин «функция», но вот термин «оператор» в подобных ситуациях обычно не используется. Таким образом, эти слова имеют формально одинаковый смысл, но вызывают у людей разные ассоциации, апеллируют к разным образным рядам. Все эти достаточно тонкие различия лучше осознаются в процессе их применения. А пока нам важно запомнить, что, строго говоря, слова функция, отображение и оператор есть синонимы.

Есть еще две важных терминологических тонкости, о которых нужно помнить, когда речь идет об отображениях – это различное понимание предлогов «на» и «в». Когда отображение распространяется на все элементы множества, употребляется предлог «на», а если лишь на некоторые, то употребляется предлог «в»; иногда «в» применяют в ситуации неопределенной, т.е. когда точно не известно, распространяется отображение на все элементы множества, или имеются исключения.

Так, если написано: «на множестве Х определена функция» это следует понимать так, что всякий x  X имеет образ, а если сказано: «функция определяет отображение множества X во множество Y», то это значит, что, вообще говоря, не всякий y Y имеет прообраз.

Разумеется, при использовании функциональной терминологии термин «прообраз» вполне аналогичен по смыслу термину «аргумент», а термин «образ» аналогичен термину «значение функции». Однако, если вы попробуете перечитать этот пункт мысленно осуществляя такую подстановку терминов, вы оцените, насколько удобно пользоваться терминами «прообраз – образ» вместо терминов «аргумент – значение».

Пусть нам задано отображение (функция, оператор) f, отображающее множество X во множество Y, такая ситуация часто изображается так: y = f(x), или x y. Совокупность тех x  X , для которых задано (определено) значение функции f(x) (отображения, оператора), называется областью определения функции f, т.е. это совокупность элементов, у которых есть образы. Совокупность тех y Y , у которых есть прообразы в Х, называется областью значений функции (отображения, оператора).

Если мы обозначим область определения D, а область значений G , то с помощью кванторов их определения можно записать таким образом:

D = {xX : (yY: y=f(x))} G = { yY : (xX: f(x)=y)}

При этом разумеется, D  Х , G  Y.

Разумеется, следует иметь в виду, что области определения и области значений функции могут принадлежать совершенно разным множествам, «школьная» ситуация, когда и область определения, и область значений принадлежат вещественной прямой, совершенно не является обязательной. Так, в уже рассмотренном нами примере со зрителями и местами область определения функции это множество зрителей, купивших билеты, а множество значений – это множество мест, на которые были проданы билеты. Для того, чтобы соответствие «зрители – места» можно было рассматривать как функцию, необходимо и достаточно, чтобы у каждого человека был только один билет. При этом если проданы все билеты, мы будем говорить, что это отображение множества зрителей на множество мест, а если остались свободные места, то это отображение в множество мест.

Отображение y = f(x) называется взаимно однозначным, если не только каждый элемент из D имеет не более, чем один образ, но и каждый элемент из G имеет не более, чем один прообраз¹².

Это утверждение можно сформулировать и иначе: если прообразы различны, то и образы различны. Т.е. из того, что x₁, x₂ D , x₁ x₂ следует f(x₁) f(x₂) для всех элементов из D . В самом деле, если разные прообразы имеют и различные образы, то невозможно, чтобы какой-нибудь элемент из области значений имел более одного прообраза. При взаимно однозначном соответствии различным аргументам соответствуют различные значения, но и обратно – два различных значения функции могут получаться только при двух различных значениях функции.

Эта симметрия между областью определения и областью значений позволяет при наличии прямого отображения (функции) построить и обратное отображение (обратную функцию).

Разумеется, если прямая функция определена в Х и принимает значения в Y, то обратная функция будет определена в Y со значениями в Х (или мы могли бы сказать, что если прямая функция определена на D со значениями в G , то обратная определена на G со значениями в D).

В этом случае на G можно определить функцию со значениями в D, которая каждому y  G ставит в соответствие его (единственный!) прообраз в D, такая функция называется обратной функцией (обратным оператором, обратным отображением) и обозначается f ^1(y)

Обратите внимание, что у прямой и обратной функции области определения и области значений меняются местами. В примере со зрителями и местами обратное отображение существует, если на каждое место продано не более одного билета. Тогда на множестве занятых мест можно определить обратную функцию, которая каждому занятому месту ставит в соответствие зрителя, который купил билет на это место.

Так, например, для функции sin(x) областью определения является вся прямая, а областью значений отрезок [–1, 1]. Построить обратную функцию к sin(x) вообще говоря, нельзя, т.к. синус повторяет свои значения. Но если ограничить область определения только отрезком [–, ], то построение обратной функции окажется возможным, такая функция называется arcsin(x). Областью определения для arcsin(x) является отрезок [–1, 1], а областью значений становится отрезок [–, ], который у прямой функции был областью определения. При этом в пределах области определения каждой из функций справедливы основные соотношения для прямой и обратной функций: arcsin(sinx) = sin(arcsinx) = x