ТЕМА 9

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД

Важнейший метод статистики заключается в обобщении, т. е. в расчете обобщающих показателей для характеристики всей совокупно­сти социально-экономических явлений. Средние величины – пер­вый из обобщающих показателей – рассчитываются для однородной совокупности, единицы которой суммируются. Для сравнения сово­купностей, состоящих из разнородных элементов, применяют индек­сы.

Индекс – это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, которые состоят из элементов, непосредственно не подда­ющихся суммированию. Например, необходимо сравнить изменение физического объема всех видов продукции или изменение цен по всем видам продукции. В этом случае нельзя суммировать количе­ство или цены, так как получаемые суммы не имеют смысла. Индексы применяются для сравнения по трем направлениям:

1. один период времени сравнивается с другим (в этом случае индексы являются показателями динамики);

2. сравнивают одно предприятие с другим, одну территорию (район, область, город, страну) – с другой (в этом случае рассчитывают территориальные индексы);

3. сравнивают фактически достигнутые показатели с запланированными и определяют выполнение плана (индексы выступают как показатели выполнения плана).

По всем трем направлениям определяют базисное значение, кото­рое имеет подстрочный знак «0», и отчетное значение, имеющее под­строчный знак «1». При сравнении во времени базисным является предыдущий период, а отчетным – последующий. При сравнении территорий в качестве базисных выбирают показатели своей терри­тории, а показатели других районов выступают как отчетные значе­ния. При анализе выполнения плана базисными считаются плано­вые значения, а фактические составляют отчетные данные.

Все основные показатели имеют свое обозначение:

g – количе­ство продукции;

р – цена единицы продукции;

z – себестоимость единицы продукции;

t – трудоемкость, или затраты рабочего време­ни на единицу продукции в человекочасах.

Экономические индексы классифицируются по трем признакам:

1. характеру изучаемых объектов;

2. степени охвата элементов совокупности;

3. методологии расчета.

По первому признаку разделяются индексы объемных и каче­ственных показателей. К объемным, отражающим объем или разме­ры явлений, относятся количество продукции (произведенной, реали­зованной), численность работников, стоимость фондов, посевные площади и т. п.; к качественным – цена, себестоимость, производи­тельность труда, заработная плата, фондоотдача, урожайность. Они характеризуют уровень какого-либо явления.

По второму признаку индексы делятся на индивидуальные, груп­повые и общие. Индивидуальные дают сравнитель­ную характеристику изменения одного элемента совокупности, груп­повые характеризуют изменение какой-либо части или группы сово­купности, общие применяются при сравнительной характеристике из­менения совокупности.

По третьему признаку общие и групповые индексы разделяются на агрегатные и средние из индивиду­альных.

Индивидуальные индексы достаточно просты в расчете и пред­ставляют собой отношение i = q₁/q₀, где просто сравнивают по вели­чине два значения, а относительную величину можно выразить либо в долях единицы, либо в процентах.

По совокупности продукции невозможно определить изменение количества, нельзя также суммировать показатели по разнородным видам продукции, даже если они измеряются в одинаковых едини­цах – тоннах зерна, молока, овощей и т. д. Чаще всего единицы измерения для различных видов продукции различны: экскаваторы учитываются в штуках, отливки – в тоннах, кабель – в метрах, энергия – в киловатт-часах и т. д. В этом случае определение суммы или какой-либо средней величины не производится.

Для сравнения необходимо использовать индексы, общие для всех видов продукции. Их сущность состоит в том, что в расчет включают дополнительный показатель в качестве соизмерителя. Он экономи­чески тесно связан с индексируемым показателем, а его величина должна быть одинаковой для двух сравниваемых периодов. Назна­чение соизмерителя – преодолеть несуммарность элементов изуча­емой совокупности.

При построении общих индексов применяют следующие правила:

– при построении индексов качественных показателей соизмерителем является количественный показатель, и он берется на уровне отчетного периода.

– при построении индексов количественных показателей соизмерителем является качественный показатель, и он берется на уровне базисного периода. Эти правила, с некоторой долей условности, можно изобразить в виде таблицы:

Показатели	Качественный	Количественный
индексируемая величина	цена (p), себестоимость (z), трудоемкость (t)	физический объем продукции (q)
соизмерители	физический объем продукции в отчетном периоде (q1)	цена (p0), себестоимость (z0), трудоемкость (t0) на уровне базисного периода

В соответствии с перечисленными правилами запишем основные индексы:

(общий индекс физического объема);

(общий индекс цен);

(общий индекс себестоимости);

(общий индекс трудоемкости);

(общий индекс производительности труда).

Построение индекса производительности труда отличается от других индексов тем, что в числителе находится трудоемкость базисного периода, а в знаменателе – трудоемкость отчетного периода. Это связано с тем, что трудоемкость является обратным показателем производительности труда: , если она снижается, производительность труда возрастает, и наоборот.

Для оценки роли отдельных факторов в изменении сложного явления – не­обходимо построить индексную систему. Индекс стоимости равен произведению индекса цен на индекс физического объема: I_pq=I_p*I_q.

Индексная система имеет вид:

На основе индексной системы определим абсолютное влияние каждого из двух факторов-сомножителей – объемного и качествен­ного – на изменение сложного явления, т. е. стоимости продукции.

Общее изменение стоимости продукции равно разности между числителем и знаменателем индекса стоимости:

.

Изменение стоимости продукции за счет изменения цен вычисля­ется как разность между числителем и знаменателем общего индекса цен:

.

Изменение стоимости за счет изменения физического объема про­дукции представлено разностью между числителем и знаменателем общего индекса физического объема:

.

Совместное влияние двух факторов (алгебраическая сумма), все­гда равно общему изменению стоимости.

Второй индексной системой является соотношение себестоимости продукции, ее количества и издержек на всю продукцию. Полные затраты на продукцию, или издержки производства, рассчитываются как произведение себестоимости единицы продукции на ее количе­ство:

, или .

Общее абсолютное изменение издержек на продукцию равняется разности между числителем и знаменателем индекса издержек:

Изменение издержек за счет себестоимости вычисляется как раз­ность между числителем и знаменателем общего индекса себестоимо­сти:

.

Изменение издержек за счет количества произведенной продук­ции равно разности между числителем и знаменателем индекса фи­зического объема продукции:

.

Совместное влияние (алгебраическая сумма) двух факторов рав­но общему изменению издержек на продукцию.

Для расчета изменения затрат рабочего времени всегда исполь­зуется следующая взаимозависимость: индекс затрат рабочего вре­мени равен произведению индексов трудоемкости и физического объема продукции.

, или .

Общее изменение затрат рабочего времени представлено алгебра­ической суммой двух изменений – за счет трудоемкости и физичес­кого объема продукции. Первое из них равно разности между числителем и знаменателем индекса трудоемкости:

,

второе – разности между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции:

.

В экономической практике возможны построения множества та­ких индексных систем, в которых один фактор – сомножитель – выступает объемным показателем, а второй – качественным, и ана­лиз их влияния на изменение совместного результата, т. е, сложного явления, выполняется по упомянутой схеме взаимосвязей.

Задача 1. По сельскохозяйственному предприятию имеются следующие данные о реализации за два месяца.

Продукция	Март		Апрель
	количество продукции, т	цена за 1 т, руб.	количество продукции, т	цена за 1 т, руб.
Молоко	25,0	6200,0	30,0	7000,0
Зерно	40,0	4600,0	42,0	4800,0

Определить:

1. Индивидуальные индексы цен и физического объема;

2. Общий индекс цен;

3. Общий индекс физического объема продукции;

4. Общий индекс стоимости продукции;

5. Взаимосвязь общих индексов;

6. На сколько рублей изменение стоимости связано с изменением:

а) цен;

б) физического объема продукции.

Решение

1. Индивидуальные индексы цен:

молоко: (113 %);

В апреле по сравнению с мартом цена реализации молока возросла в 1,13 раза или на 13 %.

зерно: (104 %).

В апреле по сравнению с мартом цена реализации зерна возросла в 1,04 раза или на 4 %.

Индивидуальные индексы физического объема:

молоко: (120 %);

В апреле по сравнению с мартом количество реализованного молока возросло в 1,2 раза или на 20 %.

зерно: (105 %).

В апреле по сравнению с мартом количество реализованного зерна возросло в 1,05 раза или на 5%.

2. Общий индекс цен:

(109 %).

По данной продукции цены реализации в апреле по сравнению с мартом в среднем выросли на 9 %.

3. Общий индекс физического объема продукции:

(112 %).

По данной продукции количество реализованной продукции в апреле по сравнению с мартом в среднем выросло на 12 %.

4. Общий индекс стоимости продукции:

(120 %).

Мы получили, что товарооборот по данным товарам в апреле по сравнению с мартом возрос на 20 %.

5. Взаимосвязь общих индексов:

I_pq=I_p · I_q=1,09 · 1,12=1,2.

6. На сколько рублей изменение стоимости связано с изменением:

а) цен:

(руб.);

б) физического объема продукции:

(руб.).

Агрегатный индекс дает сводную, или общую, характеристику из­менения по всем элементам совокупности и выражает главное на­правление всех индивидуальных изменений. Общий индекс возмож­но получить также из индивидуальных индексов путем нахождения средней величины. В статистике применяются две основные формы средних величин – средняя арифметическая и средняя гармониче­ская. Агрегатные индексы также преобразуются в две формы: в сред­ний арифметический (из индивидуальных индексов) и средний гар­монический.

Преобразование всех индексов происходит по одинаковой схеме, которую можно рассмотреть на примере агрегатного индекса цен:

.

Здесь три величины из четырех взяты на уровне отчетного периода, и только одно значение (p₀) взято на базисном уровне. Произведем замену базисной цены на цену в отчетном периоде:

i_p= .

Подставив это значение в агрегатный индекс цен, получаем средний гармонический индекс цен:

где В₁ – стоимость продукции каждого вида в отчетном периоде, или удельный вес продукции каждого вида в общей стоимости отчетного периода;

i – индивидуальные индексы цен по каждому виду продук­ции.

Преобразуем агрегатный индекс физического объема:

Здесь три из четырех значений имеют базисный уровень и лишь один (q₁) – отчетный. Заменим его на индивидуальный индекс фи­зического объема:

Подставим в агрегатный индекс и получим средний арифметический индекс физического объема:

где i_q – индивидуальные индексы физического объема продукции;

B_{0 –} стоимость продукции каждого вида в базисном периоде, или удельный вес продукции каждого вида в общей стоимости про­дукции базисного периода.

Задача 2. Имеются данные о продаже товаров в магазинах города:

Товар	Товарооборот в фактических ценах, млн руб.		Изменение количества проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
	Базисный период (р0q0)	Отчетный период (р1q1)
Изделия: трикотажные	680	750	+15
швейные	500	520	+20
Ткани	620	630	-5
Итого	1 800	1 900	–

Вычислите:

1) индивидуальные индексы физического объема товарооборота;

2) общие индексы физического объема товарооборота в фактических ценах;

3) общий индекс цен на основании взаимосвязи индексов.

Объясните экономическое содержание каждого исчисленного индекса.

Решение

1. Индивидуальные индексы физического объема товарооборота равны:

по трикотажным изделиям: i_q = 100 + 15 = 115 %, или 1,15;

по швейным изделиям: i_q = 100 + 20 = 120 %, или 1,20;

по тканям: i_q = 100 – 5 = 95 %, или 0,95.

2. Общий индекс физического объема товарооборота вычислим по средней арифметической формуле

или 109,5 %.

Следовательно, количество проданных товаров увеличилось на 9,5 %.

Общий индекс товарооборота в фактических ценах

или 105,6 %,

т. е. товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 5,6 %.

3. Общий индекс цен на основании взаимосвязи индексов определяется из формулы

отсюда:

или 96,4 %.

Таким образом, цены на товары снизились в среднем на 3,6 %.

На динамику качественных показателей, уровни которых выраже­ны средними величинами, могут оказывать воздействие одновременно два фактора: изменение значений осредняемого показателя и изме­нение структуры изучаемого явления, т. е. изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние в общей их численности. Задача состоит в определении степени влияния этих двух факторов на общую динамику средней. Она решается с помо­щью индексного метода, т. е. путем построения системы взаимосвязан­ных индексов, в которую включаются три индекса: переменного со­става, постоянного состава и структурных сдвигов.

Изучение совместного действия этих двух факторов на общую динамику среднего уровня осуществляется в статистике с помощью индекса переменного состава, который представляет собой отноше­ние двух взвешенных средних с изменяющимися (переменными) ве­сами, показывающее изменение индексируемой средней величины.

Для любых качественных показателей х, индекс переменного со­става можно записать в общем виде:

где: – уровни осредняемого показателя в базисном и отчетном периодах;

f₁, f₀ – веса (частоты) осредняемого показателя в базисном и отчетном периодах.

Чтобы элиминировать влияние изменения структуры совокупно­сти на динамику средней величины, берут отношение средних взве­шенных с одними и теми же весами (как правило, на уровне отчетно­го периода). Индекс, характеризующий динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности, носит название индекса постоянного (фиксированного) состава и исчис­ляется в общем виде:

Индекс постоянного состава показывает, как в отчетном периоде по сравнению с базисным изменилось среднее значение показателя по какой-либо однородной совокупности за счет изменения только самой индексируемой величины, т. е. когда влияние структурного фактора устранено.

Для измерения влияния только структурных изменений на иссле­дуемый средний показатель исчисляют индекс структурных сдвигов как отношение среднего уровня индексируемого показателя базисно­го периода, рассчитанного на отчетную структуру, к фактической сред­ней этого показателя в базисном периоде:

Между индексами переменного и постоянного составов и индек­сом структурных сдвигов существует следующая взаимосвязь:

т. е. индекс переменного состава выступает как произведение индек­сов постоянного состава и структурных сдвигов.

Задача 3. Рассчитайте индексы структурных сдвигов, переменного и фиксированного составов по следующим условным данным.

Регион	Июнь		Июль
	цена, руб.	продано, шт.	цена, руб.	продано, шт.
1 2	12 17	10000 20000	13 19	18000 9000
Итого	–	30000	–	27000