4. Настройка и выполнение программы

К настраиваемым показателям относятся число делений сетки, параметр границы и допустимая погрешность приближений.

После завершения ввода на экране монитора высвечивается исходная область с нанесенными на нее опорными точками, и открываются окна для выбора числа делений сетки и параметра границы. Позже запрашивается допустимая погрешность приближений.

Число делений может быть выбрано из ряда: 20, 25, 40, 50 и 80. Это число представляет собой количество делений сетки, размещаемых на большей стороне прямоугольника, в который вписана область. При выборе нужно иметь в виду, что с увеличением числа делений число узлов возрастает в квадрате, что может привести к существенному росту времени моделирования. По умолчанию предлагается число делений 50.

Параметр границы это число, которое в программе выбирается из промежутка от 0 до 1 через 0.1. Выбором параметра границы можно изменять конфигурацию границы сеточной области, включая в нее или нет некоторые узлы. Узел будет включен в сеточную область, если в четырех прилежащих к нему квадратах сетки окажется часть исходной области, площадь которой больше площади одного квадрата сетки, умноженной на параметр границы. Так, при значении параметра 0 узел будет включен в сеточную область, если в прилежащих к нему квадратах окажется хотя бы малая часть исходной области. При значении 1 узел будет включен в сеточную область, только если площадь части исходной области, попавшей в эти квадраты, окажется больше площади одного квадрата сетки. По умолчанию значение параметра границы равно 0.5.

Нажатием кнопки ОК настройки фиксируются, после чего на экран выводится сеточная область (узлы, соединенные линиями сетки). Насколько удачным оказался выбор параметров, определяют визуально, сравнивая исходную и сеточную области.

Заметим, что при некоторых настройках возможно появление узлов, для которых расчет по общей схеме не выполним. Такие узлы обнаруживаются программой и помечаются красными кружками. При их наличии настройки следует изменить.

Если по той или иной причине принято решение изменить настройки, нужно ввести в окна новые значения показателей, нажать ОК и вновь оценить полученную сеточную область.

Если изменения настроек не нужны, следует нажать кнопку «Расчет». Программа запросит значение последнего настраиваемого показателя – допустимой погрешности приближений. Следует иметь в виду, что эта погрешность не совпадает с допустимой ошибкой вычислений в целом. Для получения приемлемых результатов нужно выбирать ее значительно меньше последней. Рекомендуемые в работе значения – от 0.1 до 0.0001 град.С.

После ввода допустимой погрешности вычислений программа выполняет расчеты по схеме последовательных приближений и выводит на экран температурное поле области в цветном изображении с указанием номеров узлов, масштаб изображения и цветную шкалу температур. Выводится также меню, предусматривающее получение числовых значений температуры, переход к следующему расчету или окончание работы.

При получении числовых значений в поле области возникает перемещаемый курсор мыши и справа от области таблица с указанием его положения: горизонтального I, вертикального J номеров узла и его координат x, y. В последнем столбце таблицы указывается соответствующая температура. При перемещении курсора данные меняются и «мерцают». После нажатия левой клавиши мыши данные фиксируются в таблице.

Набрав в таблице необходимое количество строк данных, можно снова выйти в меню нажатием правой клавиши мыши. На этот раз в нем будет предусмотрена еще и возможность сохранения данных таблицы в указанном пользователем файле (запишутся только x, y и температура). Помните замечание о рекомендуемых именах файлов.

5. ЗАДАНИЕ 1: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА ДЕЛЕНИЙ

СЕТКИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Это исследование проводится на примере температурного поля внутри области, представляющей собой квадрат со стороной 100 мм.

Граничные условия соответствуют задаче Дирихле (во всех точках границы области заданы значения температуры) и выглядят так. На нижней, левой и верхней стороне квадрата задана температура 0 °С. На правой стороне квадрата температура меняется как полуволна синуса от 0 °С в нижней точке до максимального значения 100 °С в середине стороны квадрата и снова до 0 °С в верхней точке.

При размещении квадрата в системе координат так, как это рекомендовано в п. 3, получается картина, показанная на рис. 4. Пунктиром показан график изменения температуры вдоль правой границы.

Рис. 4

Исходные данные для этого примера заранее записаны в файл SIN. Введите их и обратите внимание на расположение опорных точек¹. В процессе настройки задайте число делений сетки 20. Сохраните заданный по умолчанию параметр границы и нажмите «ОК». После нанесения программой сетки нажмите «Расчет» и задайте допустимую погрешность приближений 0.001. Оцените цветовую картину теплового поля с точки зрения ее ожидаемого вида и зафиксируйте в таблице значения температуры в нескольких точках, в том числе – в точке с координатами x = y = 50 мм (центр области). Таблицу полезно сохранить для отчета.

Повторите эти действия для числа делений сетки 40 и 80, не забывая записывать или фиксировать в таблицах результаты для центральной точки области.

Для рассматриваемого случая помимо моделирования возможен аналитический расчет температуры в любой точке области (заметим, что такая возможность встречается в практике весьма редко). Соответствующая формула имеет вид

, (10)

где sh(z) − функция гиперболического синуса некоторого аргумента z.

Примечание. Как известно, эта функция выражается через показательные функции

. (11)

Для вычисления sh(z) можно предложить несколько способов.

1). Воспользоваться каким-либо калькулятором. Если это стандартный калькулятор Windows, то нужно выбрать его инженерный вид, ввести z, поставить галочку в окне «Hyp» (гиперболические функции) и нажать кнопку «sin».

2). Воспользоваться таблицами гиперболических функций из какого-либо справочника.

3). Воспользоваться таблицами показательных функций из какого-либо справочника и формулой (11).

Для примера рассчитаем температуру в точке x=80, y=20. Ее ориентировочное расположение показано на рисунке 4 звездочкой.

=

= = =31,21.

При составлении отчета рассчитайте температуру в центральной точке по формуле (10) и сравните полученное значение с результатами моделирования. Сделайте вывод, какое, по Вашему мнению, число делений сетки обеспечивает достаточную точность моделирования.

Для сравнения результатов и уточнения выводов полезно взять и другие точки области.

6. ЗАДАНИЕ 2: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДОПУСТИМОЙ

ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА РЕЗУЛЬТАТЫ

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Это исследование проводится на примере температурного поля внутри области, представляющей собой квадрат со стороной 800 мм, исходные данные для которой записаны в файл KVAD. Введите их и проведите моделирование для четырех вариантов с общим значением числа делений сетки 50 и параметра границы 0.5, отличающихся допустимой погрешностью приближений: 0.1, 0.01, 0.001 и 0.0001. Для каждого варианта определяйте температуру в нескольких точках, включая в их число центр области (x = y = 400 мм). Обратите внимание на замедление процесса моделирования по мере уменьшения погрешности.

Обратите также внимание на характер граничных условий, о которых можно судить по цветному изображению поля и температурной шкале. На нижней и верхней границах квадрата температура совпадает с температурой окружающей среды и составляет соответственно 200 ºС и 100 ºС. На левой границе предполагается ограниченный по интенсивности теплообмен с окружающей средой, имеющей температуру 20 ºС, из-за чего вдоль границы температура не остается постоянной. Правая граница идеально теплоизолирована. Признаком этого служит поведение линий постоянных значений температуры, которые примерно совпадают с линиями раздела разных по цвету (а значит, и по температуре) частей области. Эти линии «втыкаются» в правую границу перпендикулярно.

Можно убедиться в сказанном о граничных условиях, открыв файл KVAD². Для коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи там приняты значения λ= 70 Дж·с^-1·м^-1·К^-1, γ = 1000 Дж·с^-1·м^-2·К^-1. Координаты x, y даны в целых числах, остальные величины – с сохранением двух знаков после десятичной точки.

На основании сравнения результатов различных вариантов для центральной точки (можно сравнить и другие точки) сделайте вывод о том, какая, по Вашему мнению, допустимая погрешность приближений обеспечивает приемлемую точность моделирования.

7. ЗАДАНИЕ 3: ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРА

ГРАНИЦЫ НА РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Это исследование проводится на примере, данные для которого записаны в файле REBRO. Они относятся к области, представляющей собой схематическое изображение радиатора для отвода тепла: прямоугольное основание, на котором расположено треугольное ребро. На нижней границе прямоугольника поддерживается температура 100 ºС. На границе, проходящей по верхней части основания и по ребру, происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей температуру 20 ºС. Коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи – те же, что в предыдущем примере. Боковые поверхности основания идеально теплоизолированы.

Введите данные из файла и задайте число делений сетки 20, а параметр границы – 0. ОК. Обратите внимание на характер сеточной области: она оказалась заметно шире исходной в районе ребра. Не проводя расчета, замените параметр границы на 1. ОК. Теперь в сеточную область не входят некоторые части исходной.

Проведите расчет для последних настроек при допустимой погрешности приближений 0.001 (это значение сохраняйте далее во всех расчетах текущего задания). Зафиксируете температуру в двух точках: в центре основания треугольника и в самом его верху (можно добавить и другие точки). Вернитесь к параметру границы 0 и проведите расчет в таких же точках. Отметьте разницу.

Задайте новые настройки: число делений сетки 25, параметр границы 1. ОК. Обратите внимание на появление узлов, отмеченных красными кружками. Во избежание ошибок настройки следует изменить. Убедитесь в этом, доведя расчет до конца и обнаружив по цветовой картине поля ее несоответствие физическому смыслу.

Выберите самостоятельно настройки, обеспечивающие, по Вашему мнению, достаточную точность моделирования, и зафиксируйте температуру в выбранных ранее точках.

8. ЗАДАНИЕ 4: СНЯТИЕ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ТЕПЛОВОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Объект представляет собой длинную трубу с внутренним диаметром 240 мм и толщиной стенки 40 мм. На наружной поверхности трубы расположены кольцевые электрические нагреватели, имеющие ширину 100 мм и разделенные промежутками 100 мм. На рис. 5 показана часть продольного разреза по оси трубы. Разрез может быть сделан плоскостью,

Рис. 5

повернутой под каким угодно углом (глядя с торца трубы), поскольку предполагается осевая симметрия как конструкции трубы, так и условий теплообмена с окружающей средой.

Заметим также, что вследствие малой по сравнению с диаметром толщины трубы можно пренебречь кривизной стенки и пользоваться уравнением (1) и всей описанной выше методикой моделирования (при наличии существенной кривизны потребовалось бы использовать уравнение Лапласа в полярных координатах и внести соответствующие изменения в программу).

Считается, что нагреватели хорошо изолированы от внешней среды, и все выделяемое ими тепло поступает в стенку трубы. Мощность N каждого нагревателя может изменяться в диапазоне от 5 до 15 кВт.

В промежутках между нагревателями происходит теплообмен с воздушной средой, имеющей температуру 20 ºС. Теплообмен характеризуется коэффициентом теплоотдачи γ = 50 Джс^-1м^-2К^-1 и коэффициентом теплопроводности λ = 45 Дж·с^-1·м^-1·К^-1.

По трубе протекает кипящая вода. Теплообмен с ней считается очень интенсивным, вследствие чего внутренняя поверхность трубы принимает ее температуру 100º С.

Предполагая, что длина трубы многократно превосходит ее поперечные размеры, можно считать, что в средней части трубы картина температурного поля периодически повторяется от нагревателя к нагревателю, зеркально отражаясь. Повторяющуюся область можно выделить, проведя поперечные разрезы в середине нагревателя и в середине свободного от нагревателей промежутка так, как это показано пунктиром на рис. 5. В итоге достаточно моделировать только выделенную часть. На рис. 6 она показана в увеличенном масштабе.

Рис. 6

Граничные условия для выделенной области выглядят так. Часть границы под нагревателем (обозначена квадратными точками) соответствует случаю 4 (см.п. 2) и значениям , , , определяемым по формулам (7). При этом удельный тепловой поток вычисляется как отношение мощности N нагревателя к площади S его контакта с трубой

H = N/S. (12)

В свою очередь, площадь контакта находится как произведение ширины нагревателя на длину окружности трубы по ее внешнему диаметру 320 мм. При исчислении размеров в метрах и после округления до трех десятичных знаков получим S = 3.14·0.1·0.32 = 0.1 м². При N, например, 10 кВт = 10000 Вт получим H = 100000 Дж·с^-1·м^-2.

Таким образом, на рассматриваемой части границы

 = 45,  = 0,  = 100000. (13)

Часть границы на свободном промежутке (на рис. 6 оставлена без обозначений) соответствует случаю 3 и согласно формулам (6) характеризуется показателями

 = 45,  = 50,  = 20. (14)

Части границы на разрезах справа и слева (обозначены пунктиром) отвечают случаю 2 и формулам (4). Для этих частей

 = 1,  = 0,  = 0. (15)

Наконец, часть границы, соприкасающаяся с водой и обозначенная на рис. 6 круглыми точками, соответствует случаю 1 и уравнениям (3). Для нее

 = 0,  = 1,  = 100. (16)

Исходные данные для 15 опорных точек с показателями (13) – (16) записаны в файле TRUBA10. Убедитесь в этом, открыв файл. Начало координатной системы x, y помещено в левый нижний угол выделенной области. В опорных точках, приходящихся на разрывы граничных условий (угловые точки и точка x = 0, y = 20), «предпочтение» отдано одной из смежных частей границы. Какой именно, определите по содержанию файла.

Перейдем к основной задаче получения статических характеристик. Каждая из них будет представлять собой зависимость температуры в некоторой точке стенки от мощности нагревателя, рассматриваемой как управляющее воздействие³. В результате моделирования статические характеристики могут получаться только в узлах сетки. Количество характеристик будет определяться числом выбранных для них узлов. Выберите пока два узла: «1» с координатами x = 0, y = 20 и «2» с координатами x = 100 мм, y =20 мм (см. рис. 6, где эти узлы обозначены крупными точками).

Запустите программу моделирования и введите данные из файла TRUBA10. Обратите внимание на расположение опорных точек. Выберите число делений сетки 50 и параметр границы 0.5 (по умолчанию) и проведите расчет с погрешностью приближений 0.001. Снимите числовые значения температуры в узлах 1 и 2 и запишите их или сохраните в файле. Они дадут одну точку каждой из характеристик в этих узлах.

Создайте копию файла TRUBA10 под именем TRUBA5и внесите в него изменения, полагая теперь мощность нагревателя 5 кВт. Зафиксируйте температуру в тех же узлах (еще одна точка характеристик).

Создайте файл TRUBA15 для мощности 15 кВт и получите третью точку.

Постройте характеристики в осях «мощность – температура» на миллиметровой бумаге⁴. Убедитесь в линейности характеристик. Определите по два параметра, достаточных для представления каждой из них в аналитической форме, например

, (17)

где – установившаяся температура в выбранной точке при мощности

нагревателя N,

N₀ – номинальная мощность (можно взять, скажем, 10 кВт),

T₀ – температура при номинальной мощности (первый параметр),

k – коэффициент усиления (второй параметр).

Убедитесь в существенных отличиях характеристик друг от друга.

Выберите по своему усмотрению другие варианты моделирования, подтверждающие выводы о различиях между характеристиками, относящимися к разным точкам, и об их линейности.

9. ЗАДАНИЕ 5: ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

АППАРАТА ДЛЯ ТЕРМООБРАБОТКИ ХИМИЧЕСКОГО ВОЛОКНА

Аппарат представляет собой массивный круговой цилиндр из алюминия с горизонтально расположенным дном. Высота цилиндра

примерно равна диаметру. В тело цилиндра вдоль его образующих вмонтировано 6 электрических нагревателей по окружности вблизи стенки и один – в центре цилиндра. Между нагревателями проточены вертикальные цилиндрические полости для размещения бобин с волокном. После размещения бобин цилиндр закрывается крышкой, и волокно подвергается тепловой обработке при температуре более 300 ºС.

На рис. 7 показан горизонтальный разрез аппарата в его срединной части, где, можно считать, температура не меняется в направлении, перпендикулярном плоскости разреза.

Рис. 7

Точками обозначено возможное примерное расположение одной из полостей; остальные не показаны вообще. Так сделано потому, что дальнейшей целью исследования является формулировка рекомендаций по выбору расположения полостей на основании анализа температурного поля аппарата при их отсутствии.

Это поле обладает очевидной симметрией, благодаря чему достаточно исследовать только его часть, имеющую форму сектора, обозначенную знаком ☼ и ограниченную двумя линиями разрезов по осям симметрии (показаны на рис. 7 пунктиром), границами нагревателей и границей наружной поверхности аппарата. Исходя из этого, в файле SECTOR подготовлены исходные данные для моделирования. При описании граничных условий допущены некоторые упрощения: температура на границах с нагревателями считается известной и равной 360 ºС, на наружной границе – также известной и равной 250 ºС. На разрезах принято условие отсутствия теплообмена (4). Ввиду относительной сложности контура области выделены 42 опорные точки.

Откройте файл SECTOR и убедитесь в соответствии его содержания приведенному описанию. Запустите моделирование и введите данные из этого файла. Выберите по своему усмотрению параметры настройки и получите картину теплового поля.

Определите по этой картине, каковы координаты центра круга диаметра 100 мм, во всех точках которого температура не выходит за пределы 324 3 ºС. Эти координаты и послужат рекомендацией к последующему размещению полостей того же диаметра.