3.12. Особенности целочисленной и вещественной арифметики

Числовые расчеты могут производиться на множестве целых чисел или на множестве вещественных чисел. С математической точки зрения целые числа являются подмножеством множества вещественных чисел. Поэтому, казалось бы, можно было бы и не разделять числа на целые и вещественные и иметь дело только с вещественным числовым типом данных.

Однако целочисленная арифметика на ЭВМ имеет три очень существенных преимущества по сравнению с вещественной арифметикой:

• целые числа всегда представимы своими точными значениями;

• операции целочисленной арифметики дают точные результаты;

• операции целочисленной арифметики выполняются быстрее, чем операции вещественной («плавающей») арифметики.

Недостатком целого типа данных является сравнительно узкий диапазон допустимых значений (для типа Integer — от -32768 до 32767). При исполнении программы автоматически не контролируется выход значения целой величины за эти границы. В этом случае получается ошибочный результат. Если такая опасность существует, то программист должен сам предусматривать в своей программе предупреждение целочисленного переполнения. Чаще всего целый тип используется для представления счетчиков, номеров, индексов и других целочисленных величин.

Вам уже известно, что целый тип данных является порядковым. Вспомним, что это значит:

• величины этого типа принимают конечное множество значений, которые могут быть пронумерованы;

• на множестве значений данного типа работают понятия: «предыдущий элемент», «последующий элемент».

Почему же вещественный тип данных не является упорядоченным? Вещественные числа в памяти ЭВМ представляются в формате с плавающей точкой, т.е. в виде совокупности пары чисел — целого порядка и нормализованной мантиссы. Поскольку размер ячейки памяти ограничен, в большинстве случаев мантисса оказывается «обрезанной», иными словами, приближенной. Точное представление в памяти имеет лишь дискретное конечное множество вещественных значений. Поэтому множество вещественных чисел в машинном представлении (рис. 26) есть дискретное, конечное множество, хотя оно и является отражением континуума действительных чисел.

На рисунке изображена положительная часть действительной числовой оси, на которой штрихами отмечены значения, точно представимые в вещественном типе данных. Эта картина симметрично отражается на отрицательную полуось.

С ростом абсолютного значения интервал между соседними точками растет. Он равен (при двоично-нормализованной форме с плавающей точкой) 2-t х 2p = 2p-t, где р — порядок числа, a t — количество двоичных разрядов в мантиссе. Ясно, что с ростом абсолютной величины числа его порядок (р) растет и, следовательно, растет шаг между двумя соседними значениями. Минимальный шаг

максимальный шаг

Например, если рmin = -64; рmax = 63; t = 24, то имеем Δrmin = 2-88; Δrmax   = 239.

Казалось бы, значения множества точно представимых вещественных чисел можно пронумеровать и таким образом определить на нем понятия «следующий», «предыдущий». Однако расстояние между двумя последовательными значениями на этом множестве оказывается величиной субъективной, в частности, зависящей от размера ячейки памяти, в которой хранится число. Например, если под мантиссу выделяется 3 байта, то следующее значение получается путем прибавления к мантиссе единицы в 24-м разряде; если 5 байт — единицы в 40-м разряде.

Бесконечное количество действительных чисел вообще непредставимо точно в памяти ЭВМ. Если вещественное значение X попадает между двумя точно пред ставимыми значениями ri и ri+1, то оно заменяется на значение меньшего по модулю из этой пары чисел (некоторые типы процессоров выполняют «правильное» округление). Следовательно, в общем случае вещественные числа хранятся в памяти приближенно, т.е. несут в себе погрешность, которая называется погрешностью машинного округления.

Из сказанного следует, что если два числа X и Y удовлетворяют условиям ri < X < ri+1; ri < Y < ri+1, но Х ≠ Y, то в машинном представлении они неразличимы.

Разность между вещественной единицей и ближайшим к ней числом, представимым в памяти машины, называется машинным эпсилон ε. Иначе говоря, если ri = 1, то ri+1= 1 + ε. Легко понять, что величина машинного ε связана только с разрядностью мантиссы в представлении вещественных чисел на данной ЭВМ.

Для определения величины машинного ε можно использовать следующую программу:

Program EpsiIon;

Var Eps: Real;

Begin Eps:=1/2;

While 1.0+Eps>l.0 Do

Eps:=Eps/2;

WriteLn('Машинный эпсилон=',Eps)

End.