7.12. Интегральные теоремы

Несомненно полезными будут приводимые ниже интегральные формулы, получаемые как обобщения преобразований Гаусса-Остроградского и Стокса [3].

Сначала дадим выражения на основе формулы Гаусса-Остроградского. Рассмотрим область V, ограниченная поверхностью S. Вектор n задает внешнюю нормаль к поверхности. Все векторные и тензорные поля под знаком интегралов будем полагать непрерывными и ограниченными вместе с их первыми производными функциями точек замыкания области V. Область может содержать полости, а направление нормали может испытывать разрывы на кривых поверхности S.

Имеют место формулы для векторного поля t

(7.80)

(интеграл по объему дивергенции вектора равен потоку вектора через ограничивающую поток поверхность),

, (7.81)

и . (7.82)

Для тензорного поля T

, (7.83)

, (7.84)

(7.85)

где x — радиус-вектор, w — аксиальный вектор тензора T (не обязательно кососимметричного),

. (7.86)

Для симметричного T

. (7.87)

Дадим формулы на основе преобразования Стокса. Пусть в объеме V задан замкнутый контур L, сводимый непрерывным преобразованием, не выводящим за ограничивающую объем поверхность, в точку. На контуре строится поверхность S, заключенная в V. Скалярные, векторные и тензорные поля под знаком интегралов рассматриваются непрерывными вместе с первыми производными. Циркуляция предполагает заданным направление обхода вокруг нормали к поверхности S. Тогда справедливы равенства

(7.88)

(циркуляция вектора равна потоку его ротора через поверхность на контуре),

и , (7.89)

, (7.90)

, (7.91)

. (7.92)

В заключение сформулируем утверждение, в курсе математического анализа называемой основной теоремой векторного анализа.

Векторное поле t, удовлетворяющее условию

, (7.93)

называется соленоидальным (вихревым). Соленоидальность поля t означает, что существует другое векторное поле q, такое что

. (7.94)

Векторное поле t, удовлетворяющее условию

, (7.95)

называется потенциальным. Потенциальность поля t означает существование скалярного поля j (потенциала), такого что

. (7.96)

Утверждение (основная теорема векторного анализа).

Произвольное дифференцируемое векторное поле t может быть представлено суммой потенциального t ^* и соленоидального t^** векторных полей

. (7.97)

Действительно, представляя , имеем . Из (7.97)₁ , и из (7.97)₃ тогда . Последнее уравнение всегда имеет решения (и даже бесчисленное множество их).

Если векторное поле t потенциально, то из (7.88) и (7.95) , откуда легко показать, что

, (7.98)

то есть интеграл вдоль кривой не зависит от выбора этой кривой, а определяется только координатами начальной и конечной точек на ней — разностью потенциалов в этих точках.

Существенно, что рассматриваемый контур сводится непрерывным не выводящим за ограничивающую объем поверхность преобразованием в точку. В противном случае циркуляция по такому контуру не обязательно нуль.

Соотношения (7.93)-(7.98) и имеющие отношение к ним определения и утверждения остаются справедливыми, если заменить в них векторное поле на тензорное. Для тензорного поля T второго ранга: , и аналогично (7.98) мы имеем

, (7.99)

где q называется векторным потенциалом.

* а также в пространствах аффинной и метрической связности и римановом пространстве, изучаемых в курсе дифференциальной геометрии