7.10. Дифференциальные операторы второго порядка

Поскольку градиент тензора есть снова тензор, мы имеем право рассмотреть двойной градиент тензора. Различные операции умножения и свертки первых четырех векторов базисной полиады дадут нам различные дифференциальные операторы II порядка. Для скалярного поля имеют смысл три дифференциальных оператора II порядка.

1. Двойной градиент скаляра (тензор II ранга) есть

. (7.60)

Вследствие того, что

,

можно записать через операции ковариантного дифференцирования (учитывая (7.60))

.

Отсюда следует

,

то есть для скаляра операция двойного ковариантного дифференцирования переставима, а тензор (7.60) — симметричный.

В курсе дифференциальной геометрии будет показана справедливость тождества

(7.61)

(t_k задает произвольное дважды непрерывное векторное поле) в аффинном евклидовом пространстве и не выполнимость его в римановом пространстве, пространствах аффинной и метрической связности. Подобным образом обстоит дело и с тензорным полем.

2. Свертывание двухкратного градиента скаляра порождает операцию его дивергенции градиента

, (7.62)

которую обычно называют оператором Лапласа. В декартовой ортонормированной системе координат

.

С более общих позиций оператор Лапласа определяется как

вне зависимости от ранга поля.

3. Операция векторного произведения приводит к ротору градиента

,

однако поскольку , то и .

Для тензорного поля ранга p возможны следующие дифференциальные операторы:

, (7.63)₁

, (7.63)₂

, (7.63)₃

а также множество дифференциальных операторов, которые можно определить с использованием операций транспозиции двойного градиента тензора и последующего умножения или свертывания. Последние две операции в (7.63)₂ для векторного поля не определены.

Можно ввести дифференциальные операторы более высокого ранга. В частности, представление тензорных полей разложением в ряд Тейлора требует определения k-кратного градиента

. (7.64)

В заключение раздела приведем полезные формулы, заимствованные из работ [3,13,14]. Имеют место следующие правила взятия градиента от произведений различных типов:

(7.65)

Справедливо “цепное” правило взятия градиента от сложной функции , например, если отображает векторное пространство в себя, а — скалярная функция векторного аргумента, то

(7.66)

Для вычисления дивергенции существуют следующие правила:

(7.67)

Существует ряд других полезных формул

(7.68)

Формула

(7.69)

связывает три дифференциальных оператора второго порядка из (7.63).

7.11. Тензор Римана-Кристоффеля

Дифференциальные операции второго порядка позволяют ввести важный объект — тензор Римана-Кристоффеля. Сначала формально запишем двойные ковариантные производные произвольного дважды непрерывного векторного поля t_i

Почленная разность полученных выражений может быть представлена в виде

(учтено свойство (7.41)). По свойству ковариантной производной в левой части полученного равенства записаны компоненты тензора третьего ранга, а в правой части фигурируют компоненты t_i тензора первого ранга. Следовательно, по теореме об обратном тензорном признаке, в квадратных скобках в правой части мы имеем компоненты тензора четвертого ранга

, (7.70)

называемого тензором Римана-Кристоффеля. Первый индекс в (7.70) можно опустить:

. (7.71^*)

Принимая во внимание справедливое в аффинном евклидовом пространстве тождество (7.50) и натягивая компоненты на базис, получим, что

. (7.72)

Другие упомянутые после формулы (7.50) пространства такого тождества не имеют. Условие (7.72) гарантирует интегрируемость дифференциальных уравнений (7.20) и тем самым существование локального базиса как тройки радиус-векторов .

Исследуем свойства тензора Римана-Кристоффеля, не принимая во внимание (7.72). Подставляя в (7.70) выражение (7.42^**) символов Кристоффеля II рода через фундаментальную матрицу, получим

(7.73)

Из (7.73) сразу получаем

(7.74)

Второе равенство легко получить и непосредственно из (7.65) и свойства определителя. Свойства (7.74) выражают симметрию тензора Римана-Кристоффеля относительно пар индексов ij и kl и антисимметрию по индексам каждой из этих пар. Поэтому независимые компоненты исчерпываются, если рассмотреть только пары индексов (ij и kl) 12, 23, 31, комбинации которых дают лишь шесть компонент из общего числа 81. Остальные из них либо нули, либо выражаются через записанные. Кроме (7.74) имеет место тождество

, (7.75)

следующее из того, что хотя бы один из индексов j,k,l равен i (i,j,k,l = 1,2,3). Приравняв j = i, получим , где по (7.74)₁, а по (7.74)_1,3. Бианки получено тождество

. (7.76)

Тензору Римана-Кристоффеля ставят в соответствие тензор Риччи

(7.77^*)

или компонентным способом:

. (7.77^**)

Непосредственно из определения видна симметрия этого тензора второго ранга. Учитывая свойства (7.74), связь (7.77) тензора Риччи с тензором Римана-Кристоффеля взаимно однозначная (откуда первый обращается в нуль одновременно со вторым). Из тождества Бианки и (7.77^**) можно получить следующее тождество:

, (7.78)

где тензор в квадратных скобках называют тензором Эйнштейна. Закон (7.78) в общей теории относительности называют уравнением Эйнштейна [15].

В механике сплошного деформируемого твердого тела система координат , “вмороженная” в тело в начальный момент времени, изменяется с течением времени. Соответственно изменяется и локальный базис, определяемый в фиксированной материальной точке, а также фундаментальная матрица. Последняя представляет собой компоненты единичного тензора в локальном базисе в текущий момент времени, то есть тело мыслится занимающим область трехмерного аффинного евклидова пространства. В каждой материальной точке рассматривают меру однородной деформации малой окрестности этой точки в момент времени t. Поскольку фундаментальная матрица “привязана” к фиксированной материальной точке координатами , то и вместо в (7.67) и (7.42^*) мы можем использовать компоненты меры . Равенство (7.72) с левой частью, зависящей только от поля , тогда будут гарантировать вложенность рассматриваемого сплошного тела в текущий момент времени в пространство в согласии со смыслом равенства (7.72). Последнее в обсуждаемом контексте называют условием сплошности или условием совместности деформаций.

Некоторые задачи континуальной механики позволяют считать матрицу мало отличающейся от и мерой деформации линейную часть при разложении в степенной ряд по координатам — симметричный тензор малых деформаций e. В дополнении к работе [6] показано, что условие (7.72), выраженное через тензор e, принимает вид

. (7.79)

Оператор, действующий на тензор e в (7.79), вслед за Э. Крёнером [16] обозначают и называют оператором несовместности. Условие (7.79)

(7.79^*)

читается как “несовместность от тензора e”, записанное в ортонормированной системе координат, превращается в шесть уравнений совместности Сен-Венана

,

и т. д. Отличие от нуля тензора означает несплошность среды.