7.7. Ковариантная производная векторного поля. Свойства символов Кристоффеля

Располагая скалярным умножением и используя формулу Гиббса (1.25), символы Кристоффеля (7.20) могут быть выражены явно:

. (7.33)

Найдем разложение производной по векторам e ⁱ. Из формулы (1.20)

,

откуда

.

Используя (7.33), из последнего выражения получаем

,

откуда

. (7.34)

Тогда

. (7.35)

Выражение в скобках называют ковариантной производной ковариантных компонент вектора. Для производных в (7.21) и (7.34) используют обозначения:

, (7.36)

. (7.36¢)

Появление символов Кристоффеля в выражении для производных от вектора по координатам обусловлено различием базисных векторов в различных точках пространства . Для декартовых систем координат (прямоугольных и косоугольных) Þ , и ковариантные и частные производные компонент вектора совпадают, .

При разложении векторов по векторам взаимного базиса eⁱ появляются символы Кристоффеля I рода

(7.37)

выражаемые с помощью формулы Гиббса (1.27)

. (7.38)

Найдем связь с

,

откуда

. (7.39)

Аналогично

,

откуда

. (7.40)

Исследуем свойства символов Кристоффеля I и II рода.

1. Символы Кристоффеля симметричны по нижним (правым) индексам.

Скалярное умножение данного равенства на e ^j дает

, (7.41)

а умножение его на e _j —

.

Смысл выясненного свойства заключается в интегрируемости дифференциальных уравнений (7.14), гарантирующей существование радиус-вектора x в аффинном евклидовом пространстве [5]. В курсе дифференциальной геометрии будет показано, что свойство (7.41) остается справедливым в римановом пространстве и других пространствах без кручения (в общем случае пространства аффинной и метрической связности симметрией (7.41) не обладают, называют коэффициентами аффинной связности, а равенство (7.20) с несимметричными коэффициентами аффинной связности рассматривается основным).

2. С помощью (7.39) и (7.41) можно получить выражение символов Кристоффеля I рода через компоненты метрического тензора

(7.42^*)

(самостоятельно проверить). С использованием формул (7.41) и (7.42^*) можно выразить и символы Кристоффеля II рода через

(7.42^**)

Из (7.42) симметрия символов Кристоффеля по паре индексов jk видна более непосредственно. Равенства (7.42) могут быть получены из тождества Риччи (см. п. 7.8), играющего в многообразиях с полем фундаментального тензора (пространстве метрической связности и римановом пространстве) роль аксиомы. В римановом пространстве вид выражений (7.42) в точности сохраняется.

3. Символы Кристоффеля не являются компонентами какого-либо тензора.

Данное утверждение предлагается доказать самостоятельно на основе компонентного определения тензора.

7.8. Ковариантное дифференцирование тензорного поля

С использованием формул (7.20) и (7.34) можно получить выражения для компонент ковариантной производной тензорного поля II ранга в различных базисах

, (7.43)

где

, (7.44₁)

, (7.44₂)

, (7.44₃)

. (7.44₄)

Для тензоров p-го ранга количество слагаемых равно p + 1. Читателю предлагается убедиться, что целесообразность расстановки индексов в (7.44) не оставляет возможности ошибиться (“формулы сами себя пишут” [3]).

Сформулируем свойства ковариантного дифференцирования.

1. Линейность

.

2. Производная тензорного произведения тензоров

.

3. Производная произведения тензоров

.

4. Производная свертки

.

Свойства 2-4 можно резюмировать так: операции умножения или свертки и ковариантного дифференцирования переставимы. В 1-4 вместо записанных можно использовать компоненты тензоров произвольных рангов (конечно, если формально эти композиции имеют смысл).

5. Ковариантные производные компонент тензора ранга p являются компонентами тензора ранга p+ 1.

Например — вектор, а являются компонентами тензора . Символический вектор называется оператором Гамильтона или набла-оператором, ковариантные компоненты которого есть обозначения частных производных по . Следует обратить внимание на то, что операция на векторы в представлении не действует.

6. Тождество Риччи.

Ковариантные производные компонент фундаментальной матрицы равны нулю.

. (7.45)

Учитывая, что всё это согласно свойству 5 суть различные компоненты тензора III ранга

,

тождество Риччи можно записать в виде

. (7.46)

Данное свойство в следует из однородности поля тензора I .

Следствие: при ковариантном дифференцировании компоненты фундаментальной матрицы локального базиса ведут себя как постоянные — их можно выносить и вносить под знак ковариантной производной. Например,

(разобрать подробно). Заметим, что хотя ковариантная производная компонент фундаментальной матрицы равна нулю, ее частные производные в общем случае не нулевые

(использована формула (7.38)).