4 Метод секущих
В методе секущих, иначе называемом МЕТОДЕ ХОРД, приближенное значение производной в формуле (1.22) определяется по двум последовательным приближениям и по соотношению
(6)
что приводит к замене касательной в точке секущей, проведенной через две точки кривой y = f(x) или, что то же самое, - к аппроксимации функции f(x) на этом интервале линейной функцией.
Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона. Порядок сходимости метода секущих определяется соотношениями
где .
Рисунок 4. Графическая интерпритация метода секущих
К особенностям метода следует отнести следующее: в методе не требуется непосредственного вычисления производной на каждой итерации, которое может привести к существенному уменьшению объема вычислений; метод является двухшаговым, и, в частности, на первой итерации вычислений необходимо знать два начальных значения и ; сходимости метода может быть немонотонной даже в малой окрестности корня; в знаменателе формулы для вычисления стоит разность двух величин которые имеют вблизи корня малые и близкие значения, что может привести к заметным погрешностям вычислений, особенно для кратных корней.
5 Метод парабол
Рассмотренный метод секущих можно интерпретировать как метод, в котором на каждой итерации исходная функция аппроксимируется линейной функцией (секущей), построенной по двум точкам, принадлежащим f(x). Развивая далее идеи аппроксимации, можно для построения итерационных формул использовать информацию о функции в нескольких точках, предшествующих точке В методе парабол по трем последовательным приближениям
строится многочлен второй степени (парабола), приближающий исходную функцию. Иначе этот метод называют МЕТОДОМ МЮЛЛЕРА или методом КВАДРАТИЧНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ. За новое приближение берется обычно ближайший к корень соответствующего квадратного уравнения. Геометрическая интерпретация метода парабол дана на рис.5.
В качестве выбирается тот из корней квадратного уравнения, для которого величина наименьшая. Доказывается, что погрешность метода определяется соотношением
где p = 1,839.
Рисунок 5. Графическая интерпритация метода порабол
Это означает, что, несмотря на привлечение дополнительной информации о функции, метод парабол имеет порядок сходимости, лишь немного превышающий порядок сходимости метода секущих. Вместе с тем возникают задачи решения квадратного уравнения, выбора одного из двух корней многочлена и, самое важное, определение области гарантированной сходимости метода. Если три приближения для построения многочлена выбраны далеко от корня и содержат погрешности, то возможно самое неожиданное поведение решения.
Отметим, что метод парабол успешно применяется для отыскания корней многочленов, в том числе комплексных; при этом метод обладает тем замечательным свойством, что начальное приближение может быть действительным. Метод парабол является трехшаговым методом.
Варианты заданий:
№ |
Задание |
№ |
Задание |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
Отчет должен содержать:
Задание;
Графическое отделение корня уравнения;
Алгоритмы уточнения корня уравнения численными методами;
Текст программы расчета;
Результаты проверки работы программы.