14

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Политехнический институт

Кафедра "Автоматизированные станочные системы"

Методические указания к

лабораторной работе № 4

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

по дисциплине

«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление подготовки: 230100 – «Информатика и вычислительная техника»

Специальность: 230104 «Системы автоматизированного проектирования»

Форма обучения: очная

Тула 2012

Методические указания к лабораторным работам составлены профессором Ямниковой О.А. и обсуждены на заседании кафедры «Автоматизированные станочные системы» механико-технологического факультета

протокол №1 от "31" августа 2011 г.

Зав. кафедрой ________________________ А.Н. Иноземцев

Методические указания к лабораторным работам пересмотрены и утверждены на заседании кафедры «Автоматизированные станочные системы» механико-технологического факультета

протокол №1 от "____" ___________ 20___ г.

Зав. кафедрой ________________________ А.Н. Иноземцев

1. Цель и задачи работы

Получить навык

- построения расчетной интерполяционной формулы для нахождения производной и вычисления определенного интеграла функции, заданной таблично;

- разработки программных средств для дифференцирования и интегрирования функции, заданной таблично.

2. Теоретические положения

2.1. Постановка задачи численного дифференцирования и простейшие формулы численного дифференцирования

Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных форм. Рассмотрим следующую задачу. На сетке в узлахзаданы значенияфункцииf, непрерывно дифференцируемой n+m+1 раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.

Один из возможных способов решения этой задачи заключается в следующем. Построим для функции f по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом, так что

. (1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (1) m раз и положим :

. (2)

Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченными производными, необходимым количеством узлов и заданной точностью величиной, величина мала иявляется хорошим приближенным для, так что можно положить

. (3)

Остановимся более подробно на получении расчетных формул для ив узлах равномерной сетки. Для получения производных в узловых точках целесообразно использовать интерполяционный многочлен Стирлинга и его остаточный член. Так дифференцируя многочлен Стирлинга и его остаточный член поx и полагая (), получим следующие выражения для производной:

(k=1) (4)

(k=2) (5)

Дифференцируя многочлен Стирлинга два раза по x и вычисляя значение второй производной в точке имеем

(k=1) (6)

(k=2) (7)

Для вычисления производной точно в середине между узлами применяют многочлен Бесселя. В этом случае соответствующие формулы для производной имеют вид

(k=1) (8)

(k=2) (9)

Практический интерес представляют также так называемые формулы одностороннего дифференцирования, позволяющие вычислить по узлам(i=0,1,…,k,… или i=0,- 1,…,- k,…). Построение этих формул удобно провести с помощью первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.

Дифференцируя первый многочлен Ньютона по x и вычисляя значение производной в точке (t = 0) для k=1 и k=2 получим соответственно следующие формулы:

(10)

(11)

Из соотношений (4), (6) и (8) имеем

(14)

(15)

(16)

Соотношения (11) и (13) соответственно дают

(17)

(18)

Пример. Вычислить ,для функцииf(x), заданной в виде таблицы.

Таблица

x	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
y=f(x)	0,18	0,26	0,34	0,41	0,47

На основании формул (17) и (19) получаем: