Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра "Автоматизированные станочные системы"

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Практическая работа №3

Методы решения нелинейных уравнений

Тула 2007

Задание

Решить нелинейное уравнение f(x)=0 численными методами: методом половинного деления, методом простой итерации, методом Ньютона, методом секущих, методом парабол с точностью до 0,000001.

Теоретическая часть

В процессе приближенного отыскания корней уравнения выделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

Под отделением корня понимается определение промежутка, содержащего один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближения корня. Для этого применяется графический метод определения действительных корней, обладающей большой наглядностью и позволяющий относительно просто устанавливать возможность существования кратных корней. При графическом отделении корней бывает полезным представить уравнение в эквивалентном виде и искать точки пересечения функций и .

В ряде случаев может быть полезной теорема, известная из курса математического анализа.

ТЕОРЕМА. Если функция f(x), определяющая уравнение f(x) = 0 , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения. Если же функция f(x) непрерывна и дифференцируема и ее производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

В случае, когда на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их четное число.

Известно, что интервал, на котором расположены корни многочлена n-й степени в том числе и комплексные, выражается соотношением

.

Кроме того, по правилу знаков Декарта разность между числом перемен знаков последовательности и числом положительных корней является либо положительным числом, либо нулем (в случае действительных корней). Это правило распространяется и на отрицательные корни при замене х на –х. Правило Декарта позволяет также оценить число действительных корней на интервале . Для этого обозначим и применим правило знаков к уравнению

Для отделения корня полезно также использовать теорему Гюа.

ТЕОРЕМА ГЮА. Если все корни алгебраического уравнения являются действительными числами, то для последовательности коэффициентов квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения соседних с ним коэффициентов, т. е. > , k = 1, 2, …, n-1.

ТЕОРЕМА. Если для каких-либо k выполнено неравенство то многочлен имеет по крайней мере пару комплексных корней.

1 Метод половинного деления

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 отделен и функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] отделения корня. Построим процесс сужения интервала [a, b] так, чтобы искомый корень всегда находился внутри суженного интервала. Очевидно, что в этом случае погрешность приближенного значения корня не превышает , где - граничные точки интервала на k-й итерации. Найдем середину отрезка и вычислим Составим произведения и . Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение является отрицательной величиной, и обозначим новые границы отрезка через Затем новый отрезок разделим пополам, вновь составим аналогичные произведения и выберем тот из отрезков, в котором произведение – величина отрицательная.