- •§1. Учет погрешностей вычислений.
- •§2. Оценка погрешностей результатов действий над приближенными значениями чисел. (Строгий учет погрешности)
- •§3. Приближенные вычисления без учета погрешностей.
- •§4. Связь между числом количества верных цифр и относительной погрешностью.
- •§5. Прямая задача теории погрешностей (функции от приближенных значений аргументов).
- •§6. Обратная задача теории погрешностей.
- •Принцип равных влияний
- •§7. Метод границ.
- •§8. Математические модели и численные методы.
- •§9. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задач.
- •§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.
- •§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
- •§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •По соседним приближениям
- •По невязке
- •§13. Метод Ньютона. Решение уравнений с одной переменной.
- •§14. Метод хорд. Метод секущих.
- •§15. Метод Гаусса решения систем уравнений.
- •§16. Метод квадратного корня.
- •Литература
§14. Метод хорд. Метод секущих.
По прежнему решаем уравнение (1), где , на и .
Т.е. на (1) имеет только один корень.
Уравнение (1) запишем в виде , где . Возьмем в качестве , где удовлетворяет условию , .
Тогда итерационный метод запишется следующим образом:
– метод хорд.
Докажем, что метод хорд сходится. Для этого необходимо показать, что .
Разложим в ряд Тейлора
.
Рассмотрим при .
.
Обозначим через
Т.е. .
.
Следовательно, – сжатие и по принципу Банаха метод хорд сходится.
Получим оценку погрешности для метода хорд
Так как на , то
.
Обозначим через - оценка погрешности для метода хорд.
Сходимость методы хорд – линейная.
Достоинство метода хорд – легкость программирования на ЭВМ.
– общий вид метода хорд.
Общий вид упростится:
При условии , то , ;
При условии , то , .
Метод секущих.
Метод секущих имеет вид:
.
Скорость сходимости – сверхлинейная.
.
Метод секущих сходится быстрее метода хорд и метода простой итерации.
§15. Метод Гаусса решения систем уравнений.
Для решения систем уравнений используют методы: точные и приближенные.
К точным относятся:
метод Гаусса;
метод Крамера;
метод оптимального исключения;
метод квадратного корня.
К приближенным методам решения систем уравнений относятся:
метод простой итерации;
метод Зейделя;
метод Ньютона.
Метод Гаусса состоит в том, чтобы исходную систему вида Ах=b (1) с произвольной матрицей А свести к системе вида:
(2), где - уже треугольная матрица.
Процесс сведения системы (1) к системе (2) называется прямым ходом метода Гаусса.
А нахождение неизвестных - обратный ход метода Гаусса.
При вычислениях по методу Гаусса велика вероятность случайных ошибок. С целью избежать их вводится контрольный столбец:
, где
Элементы контрольного столбца преобразовываются по тем же формулам, что и элементы матрицы А.
Второй шаг контроля состоит в проверке равенства суммы элементов преобразованной строки и контрольного элемента. Эти величины должны совпадать с точностью до 1,2 единиц последнего разряда.
Метод Гаусса с выбором главного элемента.
Среди уравнений выбирают уравнение, содержащее наибольший по абсолютной величине коэффициент (главный элемент).
Затем уравнение делят на этот главный элемент и из остальных уравнений системы исключают неизвестные, определяемые этим главным элементом.
Далее, оставляя неизменным выбранное уравнение с главным элементом, из остальных уравнений системы выбирают новый главный элемент. Потом это уравнение с новым главным элементом делят на новый главный элемент и исключает неизвестное или определяемое из остальных уравнений системы.
Для удобства главный элемент помещают в левый верхний угол, переставляя строки и столбцы системы уравнений.
В результате преобразований приходим к единичной матрице.
Здесь переставляются уравнения, что приводит к изменению порядка исключенных неизвестных, и во многих случаях уменьшают погрешности, связанные с округлениями.