- •§1. Учет погрешностей вычислений.
- •§2. Оценка погрешностей результатов действий над приближенными значениями чисел. (Строгий учет погрешности)
- •§3. Приближенные вычисления без учета погрешностей.
- •§4. Связь между числом количества верных цифр и относительной погрешностью.
- •§5. Прямая задача теории погрешностей (функции от приближенных значений аргументов).
- •§6. Обратная задача теории погрешностей.
- •Принцип равных влияний
- •§7. Метод границ.
- •§8. Математические модели и численные методы.
- •§9. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задач.
- •§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.
- •§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
- •§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •По соседним приближениям
- •По невязке
- •§13. Метод Ньютона. Решение уравнений с одной переменной.
- •§14. Метод хорд. Метод секущих.
- •§15. Метод Гаусса решения систем уравнений.
- •§16. Метод квадратного корня.
- •Литература
§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.
Определение. Множество Х произвольных элементов называется метрическим пространством, если ставится в соответствие число , удовлетворяющее следующим условиям:
;
;
– расстояние между x и y.
1-3 – аксиомы метрики.
Говорят, что множество элементов - метрическое пространство сходится к , если
, .
Последовательность точек называется сходящейся в себе (фундаментальной), если .
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное верно не всегда.
Определение. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным.
Пример. .
Зададим различными способами расстояния:
кубическая метрика, m-метрика
;
сферическая метрика, метрика
;
октаэдрическая, s-метрика
.
Для всех выполняются аксиомы метрики и в каждой – полное метрическое пространство.
Пусть X,Y – метрические пространства.
называется оператором, заданным в X со значением в Y.
Если X=Y, то – оператор, отображающий Х в себя (преобразование).
Если , то – неподвижная точка при отображении .
Определение. Говорят, что отображение называется сжимающим (сжатием), если .
§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
Пусть требуется решить уравнение (1), где – непрерывная функция.
Число называется корнем уравнения (1), если .
Если функция определена и непрерывна на и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на существует хотя бы один корень.
Отделить корень уравнения значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Для отделения корней можно применить следующий признак:
Если на отрезке функция непрерывна и монотонна, и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на данном отрезке существует только один корень уравнения (1).
Достаточным условием монотонности функции на отрезке является сохранение знака производной.
Отделить корень можно и графически: нарисовать график и указать точки пересечения с осью Ох.
Совершенный метод отделения корней – метод Штурма.
Дихотомия (метод деления отрезка пополам).
Пусть
существует хотя бы один корень на ;
Рассмотрим и . Из этих двух выберем тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков и поделим его пополам и т.д.
Если нужно найти корень с точностью до , то мы продолжаем делить отрезок до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше , тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.
Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.
Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.
Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.