Введение

Начало XX века было великой эпохой в истории математи­ки. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.

Одним из важнейших событий раз­вития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение фун­кционального анализа, в котором ­соединились многие концепции клас­сического анализа, линейной алгеб­ры и геометрии.

Параллельно возникли и интенсивно развивались разделы математики, сыгравшие важную роль в становлении функционального анализа: топология, теория меры и интеграла Лебега.

Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изна­чально для каждого из них имелись свои определения при слове «тополо­гия». Одну топологию, родоначаль­ником которой был Пуанкаре, назы­вали долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследо­вания Кантора) закрепилось назва­ние общей или теоретико-множе­ственной.

Общая топология примыкает к те­ории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с плани­ровкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора – Д.Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерыв­ность» и т.п. Основы общей тополо­гии в ХХ веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем москов­ской школы П.С.Александровым и другими.

В начале ХХ века Лебег завершил пост­роение теории меры и интегрирова­ния. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что, в отличие от интеграла Римана, точки х группируют­ся не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток, у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причуд­ливо, и для построения теории интег­рирования необходимо было в пер­вую очередь построить теорию меры, т.е. научиться «измерять» такие множе­ства. Это было сделано Борелем и Лебегом.

Лебег весь­ма выразительно описал преимуще­ство своего метода. «В методе Коши, – писал Лебег, – оперируют так, как делает это неопытный клерк, кото­рый подсчитывает монеты и кредит­ные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методич­ный клерк, говорящий: у меня n₁ монет по одному франку, стоящих 1n₁, у меня n₂ монет по два франка, стоящих 2n₂, у меня n₅ монет по пять франков, сто­ящих 5n₅ … Итого, у меня 1n₁+ 2n₂ + 5n₅ +... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм недели­мых, число которых бесконечно, раз­ница двух методов капитальная.» На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций – метрическая теория функций.

В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Ни­колай Николаевич Лузин и его учени­ки П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др. Они и заложили основания московской математической школы. Сделав пер­вые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон – топологию, Люстерник и Шнирельман - нелиней­ный анализ, Новиков внес выдаю­щийся вклад в математическую логи­ку, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математичес­кая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых.

Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной.

Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теори­ей систем линейных уравнений ко­нечного числа переменных и их бес­конечномерных аналогов – линей­ных интегральных уравнений. Реша­ющий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интег­ральное уравнение Фредгольм заменил систе­мой линейных уравнений, рассмотрев вместо интеграла интег­ральные суммы.

Методы решения систем линейных уравнений были разработаны еще в XVIII веке. Применив эти методы и переход к пределу, Фредгольм на­шел условия разрешимости и алго­ритмы нахождения решений уравне­ний. Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах.

Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).

Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий – бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.

Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.