- •Тема 1. Механічні коливання Основні формули та визначення
- •2. Динаміка гармонічних коливань
- •3. Енергія тіла, що здійснює вільні гармонічні коливання
- •4. Спосіб векторних діаграм – графічне зображення гармонічного руху
- •5. Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань рівних частот
- •7. Додавання двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань
- •8. Згасаючі (затухаючі) механічні коливання
- •9. Вимушені механічні коливання
- •Задача 1.1
- •Розв’язування 1.1.
- •Задача 1.2
- •Література
Задача 1.1
Написати рівняння гармонічного коливання, якщо амплітуда коливання дорівнює м, а частота Гц.
Розв’язування 1.1.
Рівняння гармонічного коливання у загальному вигляді маємо:
(1)
Для нашого випадку рівняння гармонічного коливання має вигляд: (2)
Задача 1.2
Коливання вантажу на пружині масою кг описується рівнянням . Визначити:
Амплітуду коливання ;
Колову частоту ;
Частоту ;
Період ;
Початкову фазу ;
Повну енергію ;
Максимальну швидкість руху вантажу ;
Коефіцієнт жорсткості пружини .
Розв’язування 1.2
При гармонічних коливаннях рівняння коливань у загальному випадку записується так:
22
(1)
де – амплітуда коливання;
– фаза коливання;
– початкова фаза коливання;
– циклічна частота;
– час від початкового моменту.
Тоді згідно умови розв’язком задачі є:
Амплітуда коливання =0,1 м.
Колова частота .
Частоту визначаємо з рівняння . Звідси [Гц].
Період . Тоді, знаючи з п.3 [c].
.
Повна енергія складається із потенціальної і кінетичної . В процесі коливання проходить перетворення кінетичної енергії в потенціальну і зворотній процес. Причому в момент найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія складається тільки із потенціальної енергії, яка досягає свого максимального значення . А при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент досягає найбільшого значення .
Значить повна енергія для нашого випадку слідуюча:
23
Максимальна швидкість руху вантажу :
.
Коефіцієнт жорсткості пружини знаходимо з порівняння максимальних значень кінетичної і потенціальної енергій:
; ;
.
Задача 1.3
Осцилограма затухаючих коливань має коливань. Амплітуда першого коливання мм і наступного мм. Вважаючи, що час протягом якого відбуваються ці коливання дорівнює , визначити:
Період , частоту і колову частоту коливань.
Логарифмічний декремент затухання коливань .
Коефіцієнт затухання коливань .
Сталу часу .
Коефіцієнт опору системи .
Хвильовий (характеристичний) опір системи .
Добротність системи .
Розв’язування 1.3
Період коливання визначаємо за формулою , де – час коливання; – кількість коливань, які відбулися протягом цього часу. У нашому випадку , а . Отже, .
24
Частота ; .
Колова частота ; .
Логарифмічний декремент затухання , де і – амплітуди коливань, віддалені одна від одної на період. Знаючи і визначаємо .
Враховуючи, що амплітуда затухаючих коливань змінюється за формулою:
,
знайдемо значення амплітуд, які відповідають моментам часу, що відрізняються на період (згідно визначення )
.
Одержаний вираз називають декрементом затухання, а його логарифм – логарифмічним декрементом затухання:
.
З приведеного рівняння знаходимо коефіцієнт затухання коливань :
.
Стала часу – це є інтервал часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз. Цю сталу часу визначають через коефіцієнт затухання ; .
25
Коефіцієнт опору системи визначається через коефіцієнт затухання і масу вантажу, що коливається. Для коливань вантажу на пружині .
Хвильовий (характеристичний) опір системи для коливань вантажу на пружині визначають за формулою: .
Добротність системи визначається відношенням характеристичного опору до коефіцієнта опору , тобто
.
Задача 1.4
Яка частота, амплітуда і початкова фаза коливання, яке задається рівнянням ?
Розв’язування 1.4
Частоту коливання знаходимо за формулою ; .
Амплітуда коливання м.
Початкова фаза коливання рад .
Задача 1.5
Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою в 5 см, якщо за одну хвилину виконується 150 коливань і початкова фаза коливань дорівнює .
Розв’язування 1.5
Загальне рівняння гармонічного коливального руху має вигляд: .
Знаходимо, що м.
26
Відомо, що , де ; тоді .
Таким чином, рівняння буде мати вигляд:
.
Задача 1.6
Маємо вантаж на пружині (мал. ). Визначити:
Жорсткість пружини.
Роботу, виконану силою тяжіння під час розтягування пружини.
Максимальну швидкість, якої набуде тіло, що здійснює коливання, якщо зникне сила тяжіння.
Колову частоту, частоту і період коливань даного вантажу на пружині (один з варіантів цього завдання можна перевірити експериментально, зібравши демонстраційну установку).
Довжину нитяного (математичного) маятника, який матиме такий період коливань, як і даний вантаж на пружині (результат можна запропонувати перевірити експериментально).
Розв’язування 1.6
1. За законом Гука, сила пружності пропорційна деформації тіла:
,
де – жорсткість пружини (коефіцієнт пропорційності між силою пружності і деформацією тіла).
Звідси
27
,
де сила пружності дорівнює силі земного тяжіння, що діє на вантаж:
а деформація
(її можна знайти за початковим і кінцевим положенням стрілки відносно лінійки).
Отже
2. Роботу, виконану силою земного тяжіння при розтягуванні пружини, можна визначити за різницею потенціальних енергій пружини в кінцевому і початковому станах:
Потенціальна енергія в початковому стані (пружина не розтягнута) дорівнює нулю. Отже
;
3. Потенціальну енергію пружно деформованої пружини визначаємо за формулою . За законом збереження механічної енергії (при нехтуванні її втратами), максимальне значення механічної енергії
28
.
Прирівнявши максимальне значення потенціальної енергії до максимального значення кінетичної енергії, можна знайти максимальне значення швидкості, яку матиме тіло при коливаннях, якщо раптом зникло б земне тяжіння:
Але
Тому
Колову частоту коливань на пружині можна визначити за формулою . ;
.
Оскільки колова частота пов’язана із звичайною частотою співвідношенням , то ; .
Період коливань ;
29
Період коливань вантажу на пружині визначають за формулою . За розтягом пружини під дією вантажу можна знайти жорсткість пружини: . Отже, . Формула для визначення періоду коливань нитяного маятника: . Оскільки періоди коливань обох маятників повинні бути однаковими, то ; . У нашому випадку . Тепер виготовляємо нитяний маятник такої довжини, визначаємо експериментально період його коливань і впевнюємося у тому, що цей період дорівнює періоду коливань даного тягаря на пружині.
30