3. Енергія тіла, що здійснює вільні гармонічні коливання

Енергія тіла масою здійснює вільні гармонічні коливання з амплітудою і циклічною частотою .

– потенціальна енергія тіла, зміщеного на відстань від положення рівноваги вимірюється роботою, яку виконає повертаюча сила , переміщуючи тіло в положення рівноваги.

Отже:

(12)

– кінетична енергія визначається через швидкість , тобто

(13)

– повна енергія тіла, яке коливається, визначається рівнянням:

6

+ (14)

так як , рівняння (14) приведемо до виду:

+

, (15)

З цього видно, що і .

4. Спосіб векторних діаграм – графічне зображення гармонічного руху

Перш ніж розглядати додавання коливальних рухів, спинимося на способі подачі коливань з допомогою обертового вектора амплітуди. Нехай гармонічний коливальний рух описується рівнянням:

(16)

Проведемо пряму лінію , яку умовно назвемо «опорною», і побудуємо вектор , що чисельно дорівнює амплітуді і напрямлений з точки під кутом до опорної лінії (рис.1). Якщо початкова фаза додатна, то кут відкладається від опорної лінії в бік, протилежний обертанню годинникової стрілки; якщо початкова фаза від’ємна, то кут відкладається за годинниковою стрілкою. Проекція вектора на опорну лінію дорівнює зміщенню у момент початку відліку часу :

(17)

7

Рис.1

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі , перпендикулярної до площини рисунка, з кутовою швидкістю (проти стрілки годинника, якщо ). За проміжок часу вектор амплітуди повернеться на кут і займе положення, подане на рис.1 вектором . Його проекція на опорну лінію дорівнює:

(18)

За час , що дорівнює періоду коливань, вектор амплітуди повернеться на кут , а проекція його кінця зробить одне повне коливання навколо положення рівноваги . Отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання. Зображенням гармонічних коливань за допомогою обертових векторів широко користуються при вивченні додавання коливань.

Замість тригонометричних функцій для опису коливальних процесів також використовують показникові функції Ейлера виду

(19)

Дійсна частина являє собою тригонометричну функцію . Як правило, обчислення ведуться з показниковими функціями і при необхідності результат подають у тригонометричній формі.

8

Так, якщо , то . Для переходу від амплітуди коливань до виразів енергії, потрібно знайти квадрат амплітуди. Для цього треба помножити на спряжений вираз . Тоді отримаємо .

5. Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань рівних частот

Нехай точка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях однакового періоду, напрямлених вздовж однієї прямої. Ці коливання зручно додавати, гармонічні коливання однакового періоду , напрямлені вздовж однієї прямої, визначаються рівнянням:

(20)

Оскільки коливання відбуваються вздовж однієї прямої, то й результуючі коливання відбуватимуться вздовж цієї самої прямої.

Відкладемо з точки опорної лінії під кутом вектор амплітуди і під кутом вектор амплітуди (рис.2). Обидва вектори обертаються проти стрілки годинника з однаковою кутовою швидкістю , тому кут між ними весь час залишається незмінним. З математики відомо, що проекція на будь-яку вісь рівнодійного вектора дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю саму вісь усіх складових векторів. Тому результуючі коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і :

(21)

9

Рис.2

і обертається навколо з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуючі коливання описуються рівнянням виду:

, (22)

де – амплітуда результуючих коливань, а – їх початкова фаза.

З рис.2 видно, що квадрат амплітуди результуючих коливань

(23)

а початкова фаза визначається із співвідношення

, (24)

або

(25)

З виразу (23) випливає, що амплітуда результуючих коливань залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Оскільки різниця з бігом часу не змінюється (такі синхронні коливання називаються когерентними), то за формулою (23) можна визначити певне значення амплітуди . Косинус будь-якого кута не може бути більший від +1 і менший від –1. Отже, можливі значення лежать у межах:

10

(26)

Розглянемо кілька окремих випадків.

1. Різниця фаз додаваних коливань дорівнює нулю або цілому числу :

, де (27)

Тоді

і (28)

На рис. 3 подано графік залежності зміщення від часу для додаваних і результуючого коливань.

Рис.3

2. Різниця фаз додаваних коливань дорівнює непарному числу :

, де (29)

Тоді

і (30)

Відповідні графіки залежності зміщення від часу для додаваних і результуючого коливань подано на рис.4 пунктирними і суцільною лініями.

11

Рис.4

6. Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань і з близькими частотами та (явище биття)

Биттям називаються періодичні зміни амплітуди від мінімального значення до максимального значення. Позначивши і , а , рівняння коливань, що додаються, можна записати у вигляді:

(31)

(32)

Враховуючи, що , можна показати, що сума коливань

(33)

Модульованими коливаннями називаються коливання виду .

Амплітудно-модульовані коливання – це такі, для яких і ; де – найбільше значення амплітуди.

Частотно, або фазо-модульовані коливання – це такі, для яких і .

12

Гармонічним аналізом коливань називається зображення складних модульованих коливань у вигляді ряду простих гармонічних коливань, ряду Фур’є:

,

де – функція, що описує складне коливання,

– її основна циклічна частота.