- •1.Плоскость комплексных чисел. Модуль, аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •2. Предел последовательности комплексных чисел.
- •3. Числовые ряды с комплексными членами.
- •4. Понятие функции комплексной переменной. Примеры.
- •Линейная ф-ция. Ее геометрический смысл.
- •7. Понятие производной функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
- •8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения.
- •9. Показательная ф-ция и ее св-ва.
- •10. Логарифмическая функция и ее свойства.
- •Свойства логарифмической функции:
- •Свойства главного логарифма:
- •11. Тригонометрические ф-ции.
- •12. Понятие интеграла от функции комплексной переменной. Условия существования интеграла от функции комплексной переменной.
- •Свойства интегралов:
- •13. Интегральная теорема Коши.
- •14. Первооброзная. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Интегральная формула Коши.
- •16.Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •17. Степенные ряды.
- •18. Аналитическая ф-ция. Разложение в ряд.
- •19. Теорема единственности.
- •20. Аналитическое продолжение.
- •21. Теорема Лиувилля.
- •22. Нули аналитической функции.
- •23. Ряд Лорана. Теор. Лорана.
- •24. Устранимые особые точки.
- •25. Полюсы функции комплексной переменной.
- •Необходимость.
- •Достаточность.
- •26. Существенно особые точки функции комплексной переменной. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
- •Достаточность.
- •27. Вычет функции. Теорема о вычетах.
- •28. Понятие логарифмического вычета. Принцип аргумента.
- •29. Теорема Руше.
- •30. Основная теорема алгебры.
9. Показательная ф-ция и ее св-ва.
Опред. ф-цию w=ez след. образом: ez=ex+iy=ex(cosy+isiny). (если Jm(z)=0, z=x, то ez=ex).
Осн. св-ва: 1. | ez|= ex; 2. если Re(z)=0, z=iy, то ez=cosy+isiny (ф-ла Эйлера); 3. ez явл. аналитичной во всей комп. пл-ти, причем (ez)’= ez; 4. ,док-во: ; 5. ф-ция ez явл. периодической с периодом T0=2πi; 6. ф-ция w=ez осущ. конформное отображение комп. пл-ти;
10. Логарифмическая функция и ее свойства.
Число w называется натуральным логарифмом комплекс. Числа z, если ew=z; обозначается lnz.
Теорема. Любое отличное от нуля комплексное число z имеет бесконечно много логарифмов, которые определяются по формуле:
Lnz=ln|z|+i(argz+2k), (kZ)
Док-во. Пусть w=u+iv , z=x+iy
w=lnz ew=z eu+iv=x+iyeu*cosv+ieu*sinv=x+iy А можно записать x+iy в тригонометрической форме:
eu(cosv+isinv)=|z|(cos+isin) => Lnz=lnz+i(argz+2k).
Пример. Ln(-1)
Ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1)+2k)=i(+2k), kZ
Замечание. Все логарифмы комплекского числа z расположены на прямой, параллельной линии оси. Если z=xR+ , то все логарифмы будут мнимыми.
Свойства логарифмической функции:
Функция w=lnz является многозначной;
Для любых z1,z2C\{0} ln(z1,z2)=lnz1+lnz2; ln(z1/z2)=lnz1-lnz2
Замечание. Последние равенства понимаются как равенство двух множеств.
Пример. Ln((-1)+1)=ln(-1)=i =>Ln(-1)+ln1=i*3+0=3i
Значения различны, но множества совпадают.
Замечание. Главным логарифмом z для действительных чисел совпадает со школьным логарифмом.
Свойства главного логарифма:
Главный логарифм определен для любого zC\{0}
Главный логарифм – непрерывная функция на всей комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси.
Главный логарифм – аналитическая функция во всей комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси: (lnz)’=1/z
11. Тригонометрические ф-ции.
синус комп. числа z опред. по формуле: ;
косинус комп. числа z оред. по формуле: ;
зам. данные определения естественны ( ).
Осн. св-ва: 1. cos - четная ф-ция, sin - нечетная ф-ция. 2. sin и cos явл. периодическими с периодом 2π. 3. Для sin и cos сохр. все привычные тригоном. тождества (как ). 4. sin и cos явл. аналит. во всей комп. пл-ти. 5. sin и cos явл. неограниченными.
опр. гиперб. косинусом наз. величина .
6.
12. Понятие интеграла от функции комплексной переменной. Условия существования интеграла от функции комплексной переменной.
Пусть на плоскости компл. переме-го задана спрямляемая кривая Г и вдоль этой кривой определена функция w=f(z)
Разобьем кривую Г точками z0, z1… на частичные дуги и выберем на каждой из этих дуг произвольную точку где (k=1…n)
Составим сумму Опр: сумму вида наз-ся интегральной суммой для ф-ии на кривой соответствующей данному разбиению кривой на частичные дуги и выбора точек С.
Обозначим через наибольшую из длин
Опр:Если сущ-ет конечный придел интегральных сумм при , то его называют интегралом от ф-ии по кривой Г и обозначают
Замечание: если кривая Г лежит в , а ф-я переменной x, то понятие интеграла ф-ии совпадает с обычным опред. интегралом. (Опред. интеграл это частный случай интеграла от ф-ии комплексной переменной)
Теорема(Если Г-гладкая кривая на плоскости, а ф-я неприрывная на Г, то сущ.интегралл )
Док-во:
Покажем, что сущ. придел интегрир-я суммы
Разобьем кривую Г точками z0, z1… выберем на каждой из частичных дуг точку где (k=1…n) и пусть задана:
введем обозначение
Составим интегральную сумму:
Обозначим
Заметим, что является интегрир. суммой для ф-ии u(x,y)-v(x,y) вдоль кривой Г, а - интегрир. сумма для v(x,y)+u(x,y)
Т к неприрывна вдоль кривой Г, значит неприрывны u(x,y) и v(x,y) (а значит по т со 2 курса) существуют приделы
где d-это диаметр разбиения кривой Г на частичные дуги из опр-я криволин-го интеграла 2-го рода Т к , то значит:
Замечание: 1) из док-ва видно, что вычисление интег-ла сводиться к вычислению 2х интег-лов 2го рода
2) Если Г=[a,b] и ф-я то
пользуясь формулой для вычисления криволин-го интеграла :
Пример:
где Г=[-1+i;1-2i]
Зададим прямую проходящую (-1;1) (1;-2)