Вопрос 16. Несобственный интеграл: понятие, вычисление, условие сходимости.

Несобственный интеграл т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Если существует конечный предел то его назывыют несобственным интегралом 1 рода и обозначают

. сход

2. расх

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл расходится.

Вопрос 18. Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие, решение задачи Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае

можно записать в виде

F(x; у; у') = 0. (48.1)

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию

у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно

у', то его записывают в виде

у' = f(x; у) (48.2)

и называют ДУ первого nорядка, разрешенным относительно nроuзводной. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно

производной, можно записать в дифференциальной. форме:

Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = О, где Р(х; у) и Q(x; у) - известные функции. Условие, что при х = Х0 функция У должна быть равна заданному

числу У0, т. е. у = У0 называется начальным условием. Начальное

условие записывается в виде

У(Х0) = У0 (48.4)

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего

заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

Вопрос 19. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида

Р(х) . dx + Q(y) . dy = 0. в нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда

такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав

почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

Вопрос 20. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

к уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные

ДУ первого порядка.

Функция f(x; у) называется однородной функцией n-го nорядка (измеренuя),

если при умножении каждого ее аргумента на произвольный

множитель вся функция умножится на n, т. е.

. Дифференциальное уравнение

у' = f(x;y) (48.7) называется oднopoдным, если функция f(x; у) есть однородная

функция нулевого порядка. Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

P(x;y)* dx + Q(X;Y)* dy = 0.

нашо

Вопрос 21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида b0(х)у(n) + b1(x)y(n-1) + ... + bn(Х)У = g(X), (49.11)

где bо(х)≠0, b1(x), ... ,bn(x),g(x) - заданные функции (от х),

называется линейным ДУ n-го nорядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в

первой степени. Функции b0(х), b1 (х), ... , bn(х) называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция g(x) - его свободным членом.

~Если свободный член g(x) == 0, то уравнение (49.11) называется

лuнейным одиороным уравнением; если g(x)≠0, то уравнение

(49.11) называется неоднородным.