МЭИ - Высшая математика

Кратные интегралы и теория поля

I. Измерение мн-ва в пространстве Rn.

Опр. Элементарные мн-ва ― мн-ва, состоящие из конечного числа прямоугольных мн-в, которые могут пересекаться только по их границе.

Замечание: площадь фигуры не зависит от способа разбиения этой фигуры на части.

Опр. Точной нижней гранью мн-ва B Є Rⁿ наз. число m = inf B, т.ч.

1) V x Є B x ≥ m

2) V ε>0 сущ. x Є B, т.ч. x < m + ε

Опр. Точной верхней гранью мн-ва B Є Rⁿ наз. число M = sup B, т.ч.

1) V x Є B x ≤ M

2) V ε>0 сущ. x Є B, т.ч. x > M - ε

Опр. Если сущ. inf μ(E_ex*) = sup μ(E_in*), то мн-во E называется измеримым и мера мн-ва

μ(E) = inf μ(E_ex*) = sup μ(E_in*)

Теорема.

Если мн-во E ограничено замкнутой гладкой кривой, то оно измеримо.

Замечание: если мн-во не является ограниченным, то его мера равна бесконечности.

II. Кратные интегралы.

Пусть в прост-ве Rⁿ дано измеримое мн-во E (μ(E)<+∞) и V x = (x₁,..., x_n) Є E сущ. f(x)=y.

Опр. Диаметром мн-ва E наз. число

diamE = sup ρ(x*, x**), x*, x** Є E

Опр. Число I наз. n-кратным интегралом ф-ции y=f(x) на измеримом мн-ве E, если V ε>0 сущ. δ=δ(ε), т.ч. V разбиения T = {e_i}ⁿ с диаметром diam e_i = sup ρ(x*, x**) < ε и набора точек ξ =

{ξ_i}ⁿ вып.

Свойства кратного интеграла.

1) Линейность.

_E∫(αf + βg)dx = α_E∫fdx + β_E∫gdx

2) Аддитивность.

μ(E₁ U E₂) = 0 → _{E1 U E2}∫ = _E1∫ + _E2∫

3) Монотонность.

а) V x Є E f(x) ≤ g(x) ≤ c, то

_E∫fdx ≤ _E∫gdx ≤ c·μ(E)

б) Если f(x) ≥ 0 и E₂ > E₁, то _E2∫fdx ≥ _E1∫fdx

Теорема о существовании кратного интеграла.

Теорема.

Если мн-во в n-мерном прост-ве ограничено и измеримо, а ф-ция ограничена и непрерывна, причем мн-во ее точек имеет меру 0, то интеграл от данной ф-ции по данному мн-ву существует.

Краткая формулировка теоремы Фубини.

Теорема.

Если сущ. кратный интеграл, то сущ. все его повтор-ные интегралы и они равны между собой.

Теорема о среднем для кратного интеграла.

Теорема.

Пусть ф-ция y = f(x) V x Є Rⁿ непрерывна на компакте E. Тогда сущ. т. x* Є E, т.ч.

_E∫f(x)dx = f(x*)·μ(E)

III. Двойной интеграл.

Опр. Число I наз. двойным интегралом от ф-ции f(M) по ограниченной области D, если V ε>0 сущ. δ=δ(ε), т.ч. V разбиения T = {e_i}ⁿ с диаметром diam e_i < ε и наборе точек M_k вып.

При этом ф-цию f(M) наз.

интегрируемой на обл. D,

а двойной интеграл запис. в виде

Теорема.

Если ф-ция f(M) непрер. в замкнутой квадрируемой области D, то двойной интеграл существует, т.е. f(M) интегрируема на D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых коорд. с помощью двух послед. интегрирований.

y

y= φ₂(x)

Пусть область D состоит из

точек M(x, y), координаты

D

которых удовлетвояют нера-

y= φ₁(x)

венствам типа a ≤ x ≤ b,

φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x). Области

x

x

a

b

такого типа наз. правильными

в направ. Oy. В области D задана ф-ция z = f(x, y).

Повторным интегралом наз. число

При его вычислении

сначала находим внут-

ренний интеграл, вре-

менно считая x постоянной,

_φ1(x)∫^φ2(x) f(x,y)dy = F(x,φ₂(x))-F(x,φ₁(x))=S(x)

При этом F(x, y) ― первообразная от f(x, y) по y. Затем находим I = _a∫^b S(x)dx

IV. Замена переменных в 2-ом интеграле.

Пусть ф-ции x = x(u, υ), y = y(u, υ) задают взаимно однозначное непрерывное соответствие точек области D на пл-ть Oxy

и точек области G на пл-ть O'uυ.

Определитель

наз. якобианом отображения

обл. G на обл. D в точке (u, υ).

Теорема.

Пусть D и G ― замкнутые квадрируемые области, ф-ция f(x,y) ограничена в области D и непрер. в ней, а отображение x = x(u, υ), y = y(u, υ) удовлетворяет следующим условиям:

1°. Отображение взаимно однозначно, т.е. различным т. (u, υ) Є G соответствуют различ. т. (x, y) Є D.

2°. Ф-ции x(u, υ), y(u, υ) непрерывны в G вместе со своими частными производными первого порядка.

3°. Якобиан отображения не равен нулю.

Тогда справедливо равенство

∫∫_D f(x,y)ds = ∫∫_G f(x(u,υ), y(u,υ)) |J(u,υ)| dudυ

Двойной интеграл в полярной системе координат.

Связь полярных координат с декартовыми опреде-ляется соотношениями:

x = ρcosφ, y = ρsinφ (ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π)

Якобиан перехода к полярным координатам:

Элемент площади в полярных координатах:

ds = dS_сект² = [(ρ+dρ)² - ρ²]dφ / 2 =

= [ρ² + 2ρdρ + (dρ)² - ρ²]dφ / 2 =

= [dρ + 2ρ]dφdρ / 2 ≈ 2dφdρ / 2 = ρdρdφ

Двойной интеграл в полярных коорд. запис. в виде:

∫∫_D f(x,y)dxdy = ∫∫_D f(ρcosφ, ρsinφ)ρdρdφ =

= _α∫^β dφ _ρ1(φ)∫^ρ2(φ) f(ρcosφ, ρsinφ)ρdρ