2 Анализ электрического состояния линейных электрических цепей

переменного тока: однофазных и трехфазных

2.1 Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного

тока

Схема заданной цепи дана на рис. 2.1.

О пределяем реактивные сопротивления элементов цепи. Угловая частота:

=2f =23,1450=314 рад/с.

Реактивные сопротивления:

X_L1=L₁=314∙0,018=5,65 Ом. X_L4=L₄=314∙0,007=2,2 Ом.

X_C1=1/C₁=1/(314∙570∙10^-6)=5,59 Ом,

Определяем комплексные токи в ветвях и в неразветвленной части цепи. Расчет производим на микрокалькуляторе SR-135, который оперирует комплексными числами в алгебраической форме. Поэтому подставляем числовые значения комплек-сов в формулы в алгебраической форме.

Z₁=R₁+j(X_L1−X_C1)=6+j(5,65−5,59)=6+j0,06 Ом;

Z₂=R₂=12 Ом.

Z₄=R₄+jX_L3=10+j2,2 Ом;

Выразим действующее значение напряжения в комплексной форме:

U= 31,9 В.

Эквивалентные сопротивления участков и всей цепи

Z₁₄=Z₁Z₄/(Z₁+Z₄)=(6+j0,06)(10+j2,2)/(6+j0,06+10+j2,2)=

=3,79+j0,327=3,8 Ом

Z_э= Z₁₄+Z₂=3,79+j0,327+12=15,79+j0,327=15,79 Ом.

Токи в ветвях и во всей цепи:

I₂= =2,02−j0,0414=2,02 A.

Определяем напряжение между узлами 1 и 2:

U₁₂ =U₁=U₄=I₂Z₁₄=(2,02−j0,0414)(3,79+j0,327)=7,67+j0,498=7,69 В.

Определяем токи в ветвях заданной цепи

I₁= =1,27+j0,0702=1,28 A;

I₄= =0,742−j0,113=0,75 A.

Проверим

I₂=I₁+I₄;

2,02−j0,0414=1,27+j0,0702+0,742−j0,113;

2,02−j0,0414≈2,02−j0,0427.

Уравнения мгновенных значений токов:

i₁=I_m1∙Sin(t+_i1)=1,28∙1,41Sin(t+3,14)=1,8Sin(t+3,14) A.

i₂=I_m2∙Sin(t+_i2)= 2,02∙1,41Sin(t−1,18)=2,85Sin(t−1,18) A.

i₃=I_m4∙Sin(t+_i4)=0,75∙1,41Sin(t−8,69)=1,06Sin(t−8,69) A.

Вольтметр показывает действующее значение напряжения между зажимами 2 и 3 цепи:

U₂=I₂Z₂=(2,02−j0,0414)∙12=24,24−j0,497=24,25 В.

U_v=U₂=24,25 В.

График изменения напряжения, измеряемого с помощью вольтметра строим по уравнению мгновенных значений, составленного на основании комплексного выражения данного напряжения

u_v = U_mv∙Sin(t+_uv)=24,25∙1,41 Sin(t −1,17)=101 Sin(t −1,17) В.

График построен на рисунке 2 приложения 2

S=S₁+S₂+S₄; =I₁²Z₁+I₂²Z₂+I₄²Z₄;

31,9∙(2,02+j0,0414)=1,28²∙(6+j0,06)+2,02²∙12+0,75²∙(10+j2,2);

64,4+j1,32=9,83+j0,098+48,96+5,625+j1,23;

64,4+j1,32≈64,4+j1,33.

Расхождение в результатах незначительное.

3. Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

U_R1=I₁∙R₁=(1,27+j0,0702)∙6=7,62+j0,421=7,63e^j3,16 B;

U_L1=I₁∙jX_L1=(1,27+j0,0702)∙j5,65=−0,397+j7,18=7,19e^j93,16В;

U_С1=−I₁∙jX_С1=−(1,27+j0,0702)∙j5,59=0,392−j7,1=7,11e^-j86,84В;

U_R2=I₂∙R₂=(2,02−j0,0414)∙12=24,2−j0,497=24,24e^-j1,17 B.

U_R4=I₄∙R₄=(0,742−j0,113)∙10=7,42−j1,13=7,51e^-j8,66 B.

U_L4=I₄∙jX_L4=(0,742−j0,113)∙j2,2=0,249+j1,63=1,65e^j81,34В

Для построения векторной диаграммы задаемся масштабами тока М=0,5 А/см и напряжения М=20 В/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 2 приложения 2.

2.2 Расчет трехфазных линейных электрических цепей

переменного тока

Схема заданной цепи изображена на рисунке 2.2

Р исунок 2.2

Определяем систе­му фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

U_Ф = U_л/ = 380/1,73 = 220 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

U_A = U_Ф = 220 B;

U_B = U_A = 220 = –110 – j191 B;

U_C = U_A = 220 = –110 + j191 B.

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

Y_A = = 0,0333 – j0,0312 См;

Y _B = = 0,0625−j0,0625 См;

Y_C = = 0,031 + j0,0354 Cм;

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

U_N=

=

=(7,326−6,864−18,81–j5,0625–10,171+j2,027)/(0,1268−j0,0592)=(−21,655−j9,9)/(0,1268−j0,0592) = =−110 − j130 = 170 В.

Определяем фазные напряжения на нагрузке:

U_A^/ = U_A – U_N = 220 – (−110 − j130) = 330 + j130 = 355 B.

U_B^/ = U_B – U_N = (–110 – j191) – (−110 − j130) =– j61= 61 B.

U_C^/ = U_C – U_N = (– 110 + j191) – (−110 − j130) =j321 = 321 B.

Определяем токи в фазах нагрузки:

I_A = U_A^/∙Y_A = (330 + j130)∙(0,0333 – j0,0312) = 15,04 − j5,97 = 17,4 A.

I_B = U_B^/∙Y_B = (– j61)∙(0,0625−j0,0625) = −3,81 – j3,81= 5,39 A.

I_C = U_C^/∙Y_C = (j321)∙(0,031 + j0,0354) = – 11,36 + j9,95 = 15,1 A.

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N^/:

I_A + I_B + I_C = 0;

15,04 − j5,97 −3,81 – j3,81– 11,36 + j9,95 0;

− 0,125+ j 0,17 0.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S_A = I_A²∙Z₁ = 17,4²∙(16+j15) = 4844 + j4541 = 6640 B∙A.

S_B = I_B²∙Z₂ = 5,39²∙(8+j8) = 232 + j232 = 329 B∙A

S_C = I_C²∙Z₃ = 15,1²∙(14−j16) = 3420 – j228 = 3428 B∙A.

S = S_A + S_B + S_C = 4844 + j4541+232 + j232 + 3420 – j228 = 8496 + j4545 =

= 9635 B∙A.

Таким образом, активная, реактивная и полная мощности цепи соответственно равны: Р = 8496 Вт, Q = 4545 вар, S = 9635 В∙А.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 2 А/см и напряжений M_U=40 А/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 4 приложения 2.

.

П риложение 1

Задание 1

По заданным в таблице 1 значениям сопротивлений R приемников и значениям ЭДС начертить электрическую схему и выполнить следующее:

1. Составить систему уравнений, необходимую для определения токов в схеме методом узловых и контурных уравнений (по методу законов Кирхгофа).

2. Определить все токи в цепи по методу контурных токов.

3. Определить все токи в цепи по методу узлового напряжения.

4. Определить все токи в цепи по методу наложения.

5. Определить ток, обозначенный в колонке 21методом эквивалентного генератора.

6. Определить показания вольтметра, включенного между точками схемы, указанными в колонке 20.

7. Рассчитать и построить в масштабе потенциальную диаграмму для любого контура цепи, содержащего две ЭДС.

8. Составить баланс мощностей для заданной схемы.

Примечание:

Номера резисторов и источников ЭДС соответствуют номеру ветви, в которой они находятся. Положительное направление ЭДС берется от начала ветви к ее концу. Если, например, ветвь №1 обозначена в таблице как «45», то начало ветви точка 4, а конец ветви − точка 5.

Таблица 1

№ вар.	Номер ветви и ее «начало» и «конец»								R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7	R8
	1	2	3	4	5	6	7	8	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
29	14	46	62	23	35	51	61	43	530	330	250	650	400	150	450	640

Продолжение таблицы 1

Источник ЭДС, В		Вычислить
		U, B	I, A
18	19	20	21
E3 = 200	E5 = 600	54	I4

Задание 2

По заданным в таблице 2 амплитудным значениям напряжения источника питания U_m начальной фазе напряжения _u, параметров элементов ветвей электрической цепи начертить схему замещения с включенным вольтметром в соответствии с вариантом. Частота f=50 Гц.

Выполнить следующее.

2.1 Определить сопротивления реактивных элементов цепи X_L; X_c; действующие значения токов ветвей I и записать их мгновенные значения i.

2.2 Определить показания вольтметра.

2.3 Построить график изменения во времени напряжения, измеряемого с помощью вольтметра.

2.4 Составить баланс активных и реактивных мощностей.

2.5 Построить в масштабе совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

Примечание.

1. Источник напряжения включен между токами 1 и 3.

2. Ветви 1-2, 1'-2' и 2-3, 2'-3' являются попарно параллельными.

3. Вольтметр включен между точками схемы, указанными в колонке 20.

Таблица 2

№ вар.	Um	u	Номер ветви Конец ветви				R1	L1	С1	R2	R4	L4	Uv
	B	Град.	1	2	3	4	Ом	мГн	мкФ	Ом	Ом	мГн	B
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
29	45	60	12	23	−	1/2/	6	18	570	12	10	7	23

Задание 3

По заданным в таблице 3 линейному напряжению U_л, начальной фазе фазного y_а напряжения, схеме включения фаз приемника (звезда Y, и ее сопротивлениям Z_a Z_b, Z_c начертить электрическую схему приемника, включенного в сеть трехфазного тока. Выполнить следующее:

1.Определить фазные и линейные токи, ток в нейтральном проводе (для четырех проводной цепи).

2.Определить активную, реактивную и полную мощности приемника, коэффициент мощности.

3.Построить в масштабе совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

Дано: U_л=380 В; _ав=0; Z_a=16+j15 Ом; Z_b=8+j8 Ом; Z_c=14−j16Ом.

П риложение 2

З аключение

В заданной курсовой работе выполнены необходимые задания по постоянному, переменному однофазному и переменному трехфазному току. Все задания выполнены и оформлены согласно ЕСКД. Правильность определения токов проверены с помощью уравнений баланса мощностей. Рассчитанные режимы подтверждены соответствующими векторными диаграммами

Л итература

1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники.− М. Издательский центр «Академия», 2004 − 560 с.

2. М.П. Батура, А.П. Кузнецов, А.П. Курулев. Теория электричесих цепей. − Минск, «Вышэйшая школа», 2007 − 606 с.

3. Г.И. Атабеков. Теоретические основы электротехники. ч.1 − М. «Энергия», 1966 г. 320 с.

4.Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. для студентов ВУЗов. Под ред. д. т. н.П.А. Ионкина. − М., «Энергоатомиздат», 1982 г.,767 с.

5. Сборник задач по ТОЭ. Учебное пособие для вузов. Под ред. Л.А.Бессонова. − М., «Высшая школа», 1988 г. 543 с.

6. М. Р. Шебес. Задачник по теории линейных электрических цепей. − «Высшая школа», 1982г. 488 с.