1.4 Метод наложения

Определяем токи в ветвях цепи по методу наложения, при котором ток на любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а ) Определяем частные токи от ЭДС Е₃, при отсутствии ЭДС Е₅, то есть рассчитываем цепь по схеме рисунка 1.4.

Показываем направление частных токов от ЭДС Е₅ и обозначаем токи с одним штрихом: I₁^/ и т. д. Решаем задачу методом «свертывания».

Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи:

Далее для упрощения схемы треугольник сопротивлений R₁,R₂,R₇, преобразуем в эквивалентную звезду R₉, R₁₀, R₁₁ и получим схему рисунка 1.5

Сопротивления лучей звезды и эквивалентные сопротивления участков рассчитаны в предыдущем разделе

R₉ = 94,4 Ом, R₁₀ = 102 Ом, R₁₁= 283 Ом.

R_56.9= 732 Ом, R_8.10=774 Ом, R_34.11= 1013 Ом.

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

R_э^/= R_34.11+ =1389 Ом;

Применяя законы Ома, Кирхгофа и формулу разброса, вычисляем токи ветвей:

I₃^/= 0,144 А;

I₆^/= I₃^/ =0,074 А;

I₈^/=I₃^/–I₆^/=0,144–0,074=0,07 А.

Для определения тока I₂^/ составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного на рис. 1.3 контура

I₂^/R₂+I₃^/R₃₄+I₈^/R₈=E₃;

I₂^/∙330+0,144∙(250+650)+0,07∙640=200,

I₂^/∙330=25,6 I₂^/=0,0776 А.

I₁^/= I₂^/−I₈^/=0,0776−0,07=0,0076 А.

I ₇^/=I₆^/−I₁^/=0,0744−0,0076=0,0668 А.

б) Определяем частные токи от ЭДС Е₅ при отсутствии ЭДС Е₃, т.е. рассчитываем цепь по рисунку 1.6.

Далее преобразуем треугольник сопротивлений R₂,R₃₄,R₈, преобразуем в эквивалентную звезду R₉, R₁₀, R₁₁ и получим схему рисунка 1.7.

Сопротивления лучей звезды и эквивалентные сопротивления участков рассчитаны в предыдущем разделе

R₉ = 94,4 Ом, R₁₀ = 102 Ом, R₁₁= 283 Ом.

R_56.9= 732 Ом, R_8.10=774 Ом, R_34.11= 1013 Ом.

Эквивалентное сопротивление цепи

R_э^//= R_56.9+ =1171 Ом;

Применяя законы Ома, Кирхгофа и формулу разброса, вычисляем токи ветвей:

I₆^//= 0,5124 А;

I₃^//= I₆^// =0,2219 А;

I₈^//=I₆^//–I₃^//=0,5124–0,2219=0,2905 А.

Для определения тока I₁^// составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного на рисунке 1.6 контура

I₁^//R₁+I₈^//R₈+I₆^//R₅₆= Е₅;

I₁^//∙530+0,2905∙640+0,5124∙550=600;

I₁^//∙530=132,3, I₁^//=0,2496 А;

I₂^//=I₈^//−I₁^// =0,2905−0,2496=0,0409 А;

I₇^//=I₆^//−I₁^//=0,5124−0,2496=0,2628 А.

Определяем действительные токи в цепи:

I₁=I₁^/+I₁^//=0,0076+0,2496=0,2572 А;

I₂=I₂^/−I₂=0,0776−0,0409=0,0367 А;

I₃=I₃^/+I₃^//=0,144+0,2219=3659 А;

I₆=I₆^/+I₆^//=0,074+0,5124=0,5864 А;

I₇=I₇^/+I₇^//=0,0668А+0,2628=3296 А;

I₈=I₈^//−I₈^/=0,2905− 0,07=0,2205 А.

Результаты расчета токов ветвей обоими методами мало отличаются друг от друга.

1.5 Метод эквивалентного генератора

В практических расчетах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследо­вать режим работы одной определенной ветви.

Для определения тока, напряжения, мощности этой ветви можно воспользоваться одним из ранее описанных методов расчета.

При расчете сложной электрической цепи приходится выпол­нять значительную вычислительную работу даже в том случае, ко­гда требуется определить ток в одной ветви. Объем этой работы в несколько раз увеличивается, если необходимо установить измене­ние тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно проводить несколько раз, задаваясь различными величинами сопротивления.

Решение такой задачи значительно упрощается при использова­нии метода эквивалентного генератора.

Рассчитываем ток в резисторе R₄ методом эквивалентного генератора.

Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рисунок 1.8), т. е. при отключенном потребителе R₄ от зажимов «a» и «b».

О бозначим на схеме токи холостого хода ветвей. Для дальнейших расчетов нам необходимы только токи I_2х и I_8х . Вычислим эти токи методом «свертывания цепи». Определяем эквивалентное сопротивление цепи относительно источника Е₅:

R₂₇ =R₂+R₇ = 330+450=780 Ом;

R₁₂₇=R₁∙R₂₇/(R₁+R₂₇)=530∙780/(530+780)=316 Ом.

R=R₅+R₆+R₈+R₁₂₇=400+150+640+316=1506 Ом;

I_8х=E₅/R=600/1506=0,3984 A.

I_2х. =I_8х = =0,1612 A.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора находим напряжение холостого хода между зажимами «a» и «b». Составим по второму закону Кирхгофа уравнение для выделенного круговой стрелкой контура:

Е₃=−I_2х∙R₂+U_X −I_8хR₈, отсюда

U_х.х= E_э=Е₂+I_2хR₂+I_8х∙R₈=200+0,1612330+0,3984640=508 B.

В нутреннее сопротивление эквивалентного генератора определяем как входное сопротивление пассивного двухполюсника, схема которого дана на рисунке 1.10.

В заданной электрической цепи резисторы R₁, R₅₆ и R₈ соединены в треугольник, который для упрощения цепи преобразуем в трехлучевую звезду.

R₅₆= R₅+R₆=400+150=550 Ом.

Определяем сопротивления лучей звезды:

=R₁+R₅₆+R₈=530+550+640=1720 Ом.

R₁₂=R₁∙R₅₆/ =530∙550/1720=169 Ом.

R₁₃=R₁∙R₈/ =530∙640/1720=197 Ом.

R₁₄=R₅₆∙R₈/ =550∙640/1720=205 Ом.

Получаем преобразованную схему с двумя узлами (рисунок 1.5). Далее определяем эквивалентные сопротивления цепи:

R_7.9=R₇+R₁₂ = 450+169=619 Ом;

R_2.10= R₂+R₁₃= 330+197=527 Ом;

R_Э = R_7.9R_2.13/( R_7.9+R_2.13)+R₃+R₁₄=619527/(619+527)+250+205=740 Ом;

Заменив активный двухполюсник эквивалентным генератором, мы получили схему простейшей электрической цепи с источником Е_Э,R_Э и нагрузкой R₆. Тогда ток во четвертой ветви будет равен:

I₄= = = 0,3655 A,

т. е. ток в этой ветви мало отличается от результатов, полученных в пункте 2

1.6 Определяем показания вольтметра, включенного между точками схемы 5 и 4.

U_в=I₁ R₁+I₆R₆

U_в=0,2571530+0,5865150=224 В

1.7 Расчет и построение потенциальной диаграммы

Для построения потенциальной диаграммы возьмем контур 16723851. Зададимся обходом контура по часовой стрелке, точку «1» заземлим, то есть потенциал этой точки равен нулю ₃=0. Рассчитываем потенциалы точек.

₁=0;

₆=₁−I₇R₇=0−0,3294∙450=−148 B;

₇=₆+Е₃=−148+200=52 B;

₂=₇−I₃R₃=52−0,3658∙250=−39,45 B;

₃=₂−I₃R₄=−39,45−0,3658∙650=−277,2 B;

₈=₃+Е₅=−277,2+600=322,78 B;

₅=₈−I₆R₅=322,78−0,5865∙400=88,18 B;

проверим:

₁=₅−I₆R₆=88,18−0,5865150=0,205≈0 B;

Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивления контура в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая сопротивления друг к другу, по оси ординат – потенциалы точек с учетом их знака. Потенциальная диаграмма построена на рисунке 1 приложения 2.

1.7 Анализ результатов расчета с помощью баланса мощности

1.8 Составляем уравнение баланса мощностей цепи. Определяем мощность источников электрической энергии:

Р_ист = E₃I₃+E₅I₅=2000,3658+600∙0,5865=426 Вт.

Мощность приемников электрической энергии:

Р_пр=I₁²R₁+I₂²R₂+I₃²R₃+I₃²R₄+I₆²R₅+I₆² R₆+I₇²R₇+I₈² R₈=0,2571²∙530+0,0364²∙330+ +0,3658²250+0,3658²650+0,5865²∙400+0,5865²150+0,3294²450+0,2207²640=425 Вт.

Уравнение баланса мощностей: Р_ист=Р_пр; 426 Вт425 Вт.