5 Касательная к графику функции

Рассмотрим график функции y = f (x),дифференцируемой в точке a, выделим на нем точку M (a; f (a)) и проведем секущую MP, гдеP – точка графика, соответствующая значениюаргумента a + D x. Угловой коэффициент прямой MP вычисляется по формуле  . Если точку P двигать по графику, приближая ее к точке M, то прямая MP начнет поворачиваться вокруг точки M. При этом секущая MP стремится занять некоторое предельное положение. Это предельное положение представляет собой прямую, которая и называется касательной к графику функции y = f (x) в точке x = a. Угловой коэффициент k предельной прямой получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от P к M:

 и потому k = y'(a).

6Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что

 (1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.  Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I. Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. Замечание 2. Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

7Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а   f ′ (х)> 0  на интервале  (а;х°) и  f ′ (х)<  0  на интервале (х°; в) , то точка х является точкой максимума функции f  .

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х°, а   f ′ (х)<  0   на интервале  (а;х°) и f ′ (х)> 0  на интервале (х°; в) , то точка х° является точкой максимума функции f  .

8Наибольшее и наименьшее значение функции.

Обратимся, например, к графику функции f(х) = 1 + 2х² – х⁴ на отрезке [-1; 2]. Для работы с функцией нам необходимо построить ее график.

Из построенного графика видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в точках: х = -1 и х = 1; наименьшее значение, равное -7, функция принимает при х = 2.

Точка х = 0 является точкой минимума функции f(х) = 1 + 2х² – х⁴. Это значит, что существует окрестность точки х = 0, например, интервал (-1/2; 1/2) – такая, что в этой окрестности наименьшее значение функция принимает при х = 0. Однако на большем промежутке, например, на отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает на конце отрезка, а не в точке минимума.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значения функции на определенном отрезке, необходимо сравнить ее значения на концах отрезка и в точках минимума.

В целом предположим, что функция f(х) непрерывная на отрезке [a; b] и что функция имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка.

Чтобы на отрезке [a; b] найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:

1) найти значения функции в концах отрезка, т.е. числа f(а) и f(b);

2) найти значения функции в стационарных точках, которые принадлежат интервалу (a; b);

3) выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Применим полученные знания на практике и рассмотрим задачу.

Задача.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х³ + х/3 на отрезке [1/2; 2].

Решение.

1) f(1/2) = 6  1/8, f(2) = 9  ½.

2) f´(х) = 3х² – 3/х² = (3х⁴ – 3)/х², 3х⁴ – 3 = 0; х₁ = 1, х₂ = -1.

Интервалу (1/2; 2) принадлежит одна стационарная точка х₁ = 1, f(1) = 4.

3) Из чисел 6  1/8, 9 ½ и 4 наибольшее 9 ½, наименьшее 4.

Ответ. Наибольшее значение функции равно 9 ½, наименьшее значение функции равно 4.

9Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: если концы отрезка – A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты его середины –