- •Пространство Rn.
- •Сходимость последовательности в Rn.
- •Открытые,замкнутые.Компактные мн-ва Rn.
- •Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •Частные производные функции n переменных.
- •Дифференцируемость функции n переменных.
- •Дифференциал функции n переменных.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Неявные функции.
- •Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •Локальный экстремум. Необходимые условия.
- •Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •23. Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Основные методы интегрирования.Рекурентные формулы.
- •Непосредственное интегрирование.
- •Метод подстановки или метод замены переменных.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррац. И трансцендентных функций.
- •Понятие определенного интеграла.
- •Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции,длина дуги плоской кривой,объем тела вращения и площадь поверхности.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.Примеры.
- •Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.
- •Сведение двойного интеграла к повторному(2случая).
- •2Сл. Теорема о переходе от к повторному для криволинейной обл-ти.
- •Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •Свойства сходящихся числовых рядов.
- •Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.
- •38. Ряды с неотрицательными членами. Признак сходимости.
- •Признак сравнения.
- •Признак Даламбера.
- •Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •Степенные ряды.
- •Разложение ф-ии в степенные ряды.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.
- •Общее и частное решение диффер ур-ния.
Частные производные функции n переменных.
Рассмотрим функцию u=f(x1, x2,…xn), заданную на множестве {M}. И пусть точка М(x1, x2, …, xn) внутрення точка области определения множества М
Рассмотрим в данной фиксированной точке М отношения частного приращения функции (Хк0) Оно должно быть таким, чтобы вновь полученная т.М с координатами (х1, …Хк-1, Хк+Хn,Xn+1 ….Хn) принадлежала множеству М.
Существует (1)
D'ef Если существует предел (1) частных приращений функции функции u=f(x1, x2,…xn) в точке М с координатами (х1, х2, ….хn) по переменной Хк к соответствующему приращению Хк аргумента Хк при Хк -> 0, то этот предел называется частной производной функции в т.М по аргументу Хк и обозначается одним из следующих символов: .
Замечание. Частная производная представляет собой обычную производную функции. Одной переменной Хк при фиксированных значениях остальных переменных.
Дифференцируемость функции n переменных.
Ф-ия u=f(x) назыв диффер в точке х0,если ее полное приращение в данной точке можно представить в виде ∆u=А1*∆х2+А2*∆х2+…+Аn*∆хn+α(∆х2)*∆х2+…+α(∆хn)*∆хn – ω(х0;∆х),где Аi-некоторые числа,не зависящие от ∆хi.
Перепишем ф-лу: ∆u=A1*∆x1+A2*∆x2+…+An*∆xn+ω(x0;∆x) (2)
|ω(x0;∆x)|/||∆x|| стремится к 0 при ||∆x||→0.
Ф-ия дифференцируема в каждой точке (x1, x2,…,xn),диффер на(x1, x2,…,xn).
[ T] Если u=f(x1,x2,x3,…,xn) дифференцируема в точке M(x1, x2,…,xn), то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= . Доказательство: из условий дифференцируемости функции запишем: xiU=AiXi+iXi, I= . Найдем предел :
Следствия:
условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде: xkU= (5)
если u=f(x1,x2,x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее представление приращение в форме (2) единственно. Док-во: В ф-ле (2) коэф-ты ∂u/∂xi опр единственным образом(по опр-нию частных произодных).
[Т2] Если u=f(x) диф в точке х0,то она непрер в точке х0. Док-во: lim∆u=0+0=0 при ∆x→0 и ∆хi→0 по опр-нию непрерывности ф-ии,что и т.д.
Замечание. Теорема,обратная теореме 1,не верна.
[Т3] Достаточное условие дифференцируемости функции: Если функция u=f(x1, x2,…,xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки М причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.
Функция u=f(x1,…xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде
(2)u=A1x1+A2x2+….+AnXn +1x1+…nxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от X1,X2….X числа, а 1, 2, …m б-м функции соответственно при х1->0, х2->0, …хm->0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Еm
Соотношение (2)называется условием дифференцируемости функции, причем 1=2….n=0, при Х1=Х2=Х3…Хn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2)+…+ Аn Хn
Ф-ия,имеющая в точке х0 непрерывные частные произв-ые,назыв непрерыв диф в точке х0.