39. Разложение ф-ии в степенные ряды.Ряды Тейлора и Маклорена.

Определение:Пусть ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда s, т.е. f(x)=n=0∑∞ anx ⁿ (*), интервал сходимости которого(-R;R). Тогда говорят, что на интервале (-R;R) степенная ф-ция f(x)разлагается в степенной, ряд или в ряд по степеням x.

Замечание В ряде случаев рассматривают степенные ряды более общего вида g(x) n=0∑∞ a_n*(x-c) ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)² +a₃(x-c)³ +…

При этом говорят что ф-ция g(x) разлагается в степенной ряд по степеням x-c. Второй случай заменим y = x -c –сводится к первому.

Теорема : Если ф-ция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд (*), то это разложение единственно, а коэффициенты определ. по форм. a₀=f(0), a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!, n≥1

Получим что f(x)=f(0)+f ’ (0)+f ”(0)*x²/2+…+ f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!+…(**)

Формула (**) называется рядом Маклорена.

F(x)=f( c)+f ‘ (c)*(x-1)/1!+f “ (c)*(x-2)² / 2!+…+ f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+..-ряд Теилора

39. Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.

Определение 1. Уравнение вида Р (х, у, у'} = О (1)

где х — независимая переменная', у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y', то оно принимает вид

У' =f(х, у} . (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относитель-но производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

dy/dx=f(x,y) или в виде /f(х, у) dх- dу = 0, являющемся част-ным случаем более общего уравнения

-

Р (х, у)dх + Q (х, у) dу =О, (3)

где Р (х, у] и Q (х, у] — известные функции. Уравнение в симмет-ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-правны- Т. E каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры диф Ур вида 2 и 3

Решением диф Ур первоо порядка наз функция y=Ф(х), х э (а,в), которая при подстановке в Ур обращ его в верное тождество. Пример

График реш диф Ур на интегральной кривой.

Коши. Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение У' =f(х, у} (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-ствовании и единственности решения дифференциального уравне-ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15.1. (теорема Коши)**. Если функция f (х, y) и ее частная производная f'у (х, у) определены и непрерывны в некото-рой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя тoчка (X0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки су-ществует единственное решение уравнения у' =f(х, у), удовлетво-ряющее условиям:

у = у0 при х = .x0.(4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-известно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-нюю точку (х0; y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=Ф(у) принимает за-данное значение у0„ в заданной точке х0, называют начальными усло-виями решения и записывают обычно так:

у\x=xо = Уо. (5)

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С гео-метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через кот либо прох более одной инт кривой, либо не прох ни одной, наз особыми точками данного Ур.