![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •71.(55).Численные методы вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников и трапеций.
- •Двойные интегралы.Определение двойного интеграла, его свойства
- •75.(32,34). Формула Лейбница. Гамма-функция.
- •76. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Нахождение уравнения по его решению.
- •77.(10.).Дифференциальные уравнения первого порядка. Его геометрический смысл. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •78.(46). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.
- •II. Уравнения, однородные относительно переменных
- •79.(7,26). Линейные дифференциальные уравнения. Решения методом замены переменной и методом вариации произвольных постоянных.
- •80.(43). Уравнение Бернулли. Его решение.
- •81.(11). Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.
- •82.(7). Линейные дифференциальные уравнения n-Го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского.
- •83.(37,38). Комплексные числа, действия над ними. Формула Эйлера.
- •85.(1). Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
70.(30).Вы
числение длины дуги плоской кривой
3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой
3.2.
Если кривая задана параметрическими
уравнениями
,
где x(t), y(t) - дифференцируемые
функции, то длина дуги
3.3.
Если дуга задана в полярных
координатах
,
,
то длина дуги
71.(55).Численные методы вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников и трапеций.
73-74.(42). Двойные интегралы. Их геометрический смысл. Свойства.
Двойные интегралы.Определение двойного интеграла, его свойства
Переходя к рассмотрению двойных интегралов для функции двух независимых переменных f (x, y), наиболее удобно для понимания начать с определения объема цилиндрического тела.
О п р е д е л е н и е. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью хОу, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.
Область D, высекаемая в плоскости хОу цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (рис. 5).
Диаметром области называют наибольшее расстояние между точками ее границы.
В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может отсутствовать. Например, если тело ограничено плоскостью хОу и полусферой
.
Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и искомый объем определить как сумму объемов цилиндрических тел, составляющих этот объем.
Пусть Z = f (x, y)
есть уравнение поверхности, ограничивающей
цилиндрическое тело. Будем считать,
что f(x, y)
определена в ограниченной замкнутой
области D плоскости хОу.
Разобьем область D произвольным
способом на n частичных
областей с площадями
и
диаметрами d1,d2,…,dn.
Выберем в каждой элементарной (частичной)
области произвольную точку Mk(xk, yk)
и умножим значение функции в точке Mk на
площадь этой области.
И
нтегральной
суммой для функции Z = f (x, y)
по области D называется
сумма вида (n-я
интегральная сумма)
.
(87)
О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом от функции f (x, y) по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей:
.
(88)
При f (x, y) > 0, (поверхность Z = f (x, y) целиком лежит в верхней полуплоскости) двойной интеграл равен объему цилиндрического тела
,
(89)
ограниченного областью D и поверхностью Z = f (x, y).
Т е о р е м а существования двойного интеграла.
Если
функция f (x, y) непрерывна
в области D, ограниченной замкнутой
линией, то ее n-я интегральная сумма
стремится к пределу при стремлении к
нулю наибольшего диаметра частичных
областей. Этот предел, т.е. двойной
интеграл
,
существует и не зависит от способа
разбиения области D на частичные области
и от выбора в них точек Mk.
Основные свойства двойных интегралов
1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
(90)
2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ двойного интеграла:
(91)
3. Если область интегрирования разбита на две части D1 и D2, то
.
(92)
4.
Если во всех точках области D функции f (x, y)
и
удовлетворяют
условию
,
то
.
(93)
Знак неравенства может перейти в знак равенства только при совпадении функций.
С л е д с т в и е. Если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет знака, то двойной интеграл есть число того же знака, что и функция.
5. Если функция f (x, y) во всех точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам
,
то
,
(94)
где S – площадь области D.
6. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования, т.е.
.
(95)
Значение
из
(95) называется средним
значением функции f (x, y)
в области D,
а равенство (95) является, по существу,
обобщением теоремы о среднем для
определенного интеграла на двойной
интеграл.