- •71.(55).Численные методы вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников и трапеций.
- •Двойные интегралы.Определение двойного интеграла, его свойства
- •75.(32,34). Формула Лейбница. Гамма-функция.
- •76. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Нахождение уравнения по его решению.
- •77.(10.).Дифференциальные уравнения первого порядка. Его геометрический смысл. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •78.(46). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.
- •II. Уравнения, однородные относительно переменных
- •79.(7,26). Линейные дифференциальные уравнения. Решения методом замены переменной и методом вариации произвольных постоянных.
- •80.(43). Уравнение Бернулли. Его решение.
- •81.(11). Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.
- •82.(7). Линейные дифференциальные уравнения n-Го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского.
- •83.(37,38). Комплексные числа, действия над ними. Формула Эйлера.
- •85.(1). Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
82.(7). Линейные дифференциальные уравнения n-Го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского.
Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
где коэффициенты a1(x), a2(x), ..., an(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b]. Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L:
где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты ai (x) и сложения.
Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:
L[y1(x) + y2(x)] = L[y1(x)] + L[y2(x)];
L[Cy(x)] = CL[y(x)], где y1(x), y2(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число. Из свойств оператора L следует, что если функции y1, y2,..., yn являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида
где C1, C2,..., Cn − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y1, y2,..., yn образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
Совокупность n линейно независимых частных решений y1, y2,..., yn называется фундаментальной системойлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Функции y1, y2,..., yn являются линейно независимыми на отрезке [a, b], если тождество
выполняется лишь при условии
где числа α1, α2,..., αn одновременно не равны 0. Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан:
Если функции y1, y2,..., yn, дифференцируемые n − 1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [a, b], то выполняется тождество:
Соответственно, если эти функции линейно независимые на [a, b], то справедлива формула
Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y1, y2,y3 через определитель в следующем виде: Выражение для дифференциального уравнения n-го порядка записывается аналогично:
83.(37,38). Комплексные числа, действия над ними. Формула Эйлера.
Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:
1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;
2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида
z = (x1 + x2, y1 + y2);
3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число
z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);
4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.
Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что z2 + z = z1, откуда находим z = z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2).
Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим
Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i2 = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.
Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.
Число
называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.
Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае
z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если z1 = (r1 cos θ1, r1 sin θ1), z2 = (r2 cos θ2, r2 sin θ2), то
z1z2 = (r1r2 cos(θ1 + θ2), r1r2 sin(θ1 + θ2)),
Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zn = (rn cos nθ, rn sin nθ).
При r = 1 соотношение приобретает вид zn = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.
Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле
Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией мнимого аргумента с одной стороны и тригонометрическими функциями и - с другой:
|
|
(1) |
|
Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора:
|
|
(2) |
|
|
|
(3) |
|
|
|
(4) |
|
Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку :
|
|
(5) |
|
Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:
|
|
(6) |
|
В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции exp(iφ) равна cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,
|
|
(7) |
|
что и устанавливает формула Эйлера.
Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:
|
|
(8) |
|
Отметим, что показательные функции с комплексными и вещественными степенями имеют одинаковые свойства:
|
|
(9) |
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
84.(58). Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение - корни характеристического уравнения.
Общее решение 1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например , решение можно записать в виде 2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, имеет кратность k (остальные - простые), тогда
Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде