Вопрос №11: Анализ методом контурных токов (мкт). Пример.

Применяются, когда схема содержит несколько источников электрической энергии. Метод позволяет выполнить анализ решением системы из k - канонических уравнений, где k – число независимых контуров. Напомним, что канонические уравнения удобны для матричной формы представления системы. В электротехнике матрицы применяют для сокращенной записи системы уравнений и для упорядочения их решения.

Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, причем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца. Если ввести понятия контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное каноническое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа.

П ример: 1. Произвольно задаем направление токов и обходом контура. Число узлов: n=3, число контуров: k=3. Вводим контурные токи: I₁₁; I₂₂; I₃₃. Найти: токи I₁ – I₅.

Решение: 2. Составляем число уравнений по числу контуров (канонические уравнения):

R₁₁*I₁₁ + R₁₂*I₂₂ + R₁₃*I₃₃ = E₁₁;

R₂₁*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ + R₂₃*I₃₃ = E₂₂;

R₃₁*I₁₁ + R₃₂*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃.

Индексы относятся к контурам, где Е₁₁ – ЭДС для I-го контура:

1) Е₁₁ = Е₂ – Е₁; 2) Е₂₂ = -Е₂; 3) Е₃₃ = Е₃.

Собственные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₂; R₂₂ = R₂ + R₃ + R₄; R₃₃ = R₄ + R₅.

Взаимные сопротивления контуров: Примечание: знак «+» ставится при одинаковом направлении контурных токов через сопротивления:

R₁₂ = R₂₁ =-R₂; R₂₃ = R₃₂ =-R₄; R₁₃ = R₃₁ = 0.

3. Подставляем числовые значения в систему уравнений и решаем:

∆ = ; ∆₁₁ = ; ∆₂₂ = ; ∆₃₃ = ;

Находим контурные токи: I₁₁ = ∆₁₁/∆; I₂₂ = ∆₂₂/∆; I₃₃ = ∆₃₃/∆;

4. Определяем истинные токи:

I₁ = -I₁₁; I₂ = I₁₁ – I₂₂; I₃ = -I₂₂; I₄ = I₃₃ – I₂₂; I₅ = I₃₃.

Е сли при определении действительного тока он получился отрицательным, то в схеме его направление изменить на противоположное (нарисовать рядом стрелку).

5. Правильность решения проверки балансом мощностей:

Вывод: МКТ позволяет быстрее получить ответ, т.к. решается меньшее количество уравнений.

Вопрос №12: Метод междуузлового напряжения. Пример.

В реальных электрических цепях часто источники и приемники электрической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют только два узла. Если напряжение между узлами известно, то определение токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и положен в основу метода. На первом этапе определяют междуузловое напряжение, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей. Формулу для междуузлового напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим напряжение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, когда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока. Этот метод применяется, когда в схеме имеются 2 сложных узла.

П ример: Дано: Е₁, Е₂, R₁-R₃; Определить: токи в ветвях I₁ – I₃.

Решение: 1. Задаем междуузловое направление: φ_A > φ_B: U_AB.

2. Задаем направление токов в ветвях в одну сторону.

3. По формуле определяем междуузловое напряжение: .

Примечание: Если направление Э.Д.С. и U_AB совпадают, то берется произведение со знаком «+»:

U_AB = (E₂*(1/R₂) – E₁*(1/R₁))/((1/R₁)+(1/R₂)+(1/R₃)).

4. По 2-ому закону Кирхгоффа определяются токи в ветвях:

U_AB – I₁*R₁ = E₁, тогда I₁ = (-E₁ + U_AB)/R₁;

U_AB – I₂*R₂ = -E₂, тогда I₂ = (E₂ + U_AB)/R₂;

U_AB – I₃*R₃ = 0, тогда I₃ = (-U_AB)/R₃;