Вопрос №9: Анализ линейных цепей с применением законов Кирхгоффа. Пример.

При анализе электрических цепей определяют значение токов в их ветвях, падение напряжения на элементах или потребляемую мощность по заданному значению Э.Д.С., а также значение сопротивлений, проводимостей или других параметров по заданным значениям тока или напряжения. Для определенности будем полагать, что расчету подлежит значение токов ветвей схемы. Применяется при нескольких ЭДС в цепи. Суть анализа электрических цепей применением законов Кирхгофа заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений, где n – число сложных узлов, k – число независимых контуров: N = (n-1) + k. По I закону Кирхгоффа составляется (n-1) – число уравнений; По II закону Кирхгоффа составляют k-уравнений.

П ример: дано: E₁, Е₂, E₅, R₁ – R₅. Определить: токи в ветвях.

Решение: 1. Произвольно отмечаем токи в системе: I₁ – I₅.

2. Определяем количество контуров: k = 3 и задаем направление контуров. В системе 3 сложных узла: n = 3.

3. Составляем уравнения по I закону Кирхгоффа: n – 1 = 2.

Узел 1: I₁ – I₂ – I₃ = 0;

Узел 2: I₃ – I₄ – I₅ = 0.

Составляем уравнения по II закону Кирхгоффа: k = 3.

Контур I: I₁*R₁ + I₂*R₂ = E₁ – E₂;

Контур II: I₃*R₃ + I₄*R₄ – I₂*R₂ = E₂;

Контур III: I₅*R₅ – I₄*R₄ = - E₅.

Подставляем значения E и R в уравнения.

Примечание: Если при решении какой-либо ток получился отрицательным, то нужно в схеме изменить его направление на противоположное (нарисовать стрелку рядом). Для проверки правильности решения составляется уравнение баланса мощностей: при P = U*I = I²*R.

Примечание: знак «+» ставится в первой части равенства, если направление тока и ЭДС совпадают.

Вопрос №10: Анализ электрических цепей методом эквивалентных преобразований. Пример.

К огда в состав электрической цепи входит только один источник Э.Д.С., его ток определяется общим сопротивлением пассивных приемников электрической энергии. Такое сопротивление называют эквивалентным – R_экв. Очевидно, что если известно R_экв, то цепь можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и R_экв, а определение тока источника сводится к применению закона Ома. Процесс перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с R_экв называется эквивалентным преобразованием. Приемы преобразования электрической цепи определяются способами соединения пассивных элементов. Различают четыре основных способа соединения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рассмотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из названных способов.

Последовательное соединение элементов:

Характеризуется одним и тем же значением силы тока. Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать: I*R₁ + I*R₂ + … + I*R_n = I*R_экв_., откуда R_экв_. = R₁ + R₂ + … + R_n,а I = U/R_экв_.Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом.

П араллельное соединение элементов: Параллельным называют соединение, при котором все элементы цепи присоединяются к двум сложным потенциальным узлам и находятся под воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на рис. 2.3. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением источника U и проводимостью G_k соответствующей ветви: I_k = G_k*U. Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы рис.2.3, а на простейшую схему рис 2.3, б. Условием эквивалентности схем является равенство токов на зажимах 1 – 1′, т. е.: I = I₁+ I₂ + … + I_n. Подставляя значение токов, получим: U/R_экв. = U/R₁+ U/R₂ +… + U/R_n, откуда или в единицах проводимости:

Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных элементов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротивление которой определяется выражением. При параллельном соединении двух резистивных элементов с сопротивлениями R₁ и R₂ их эквивалентное сопротивление равно: R_экв. = (R₁*R₂)/(R₁+R₂), а эквивалентная проводимость:

G_экв. = 1/R₁ + 1/R₂ = (R₁+R₂)/(R₁*R₂) = G₁ + G₂. Токи двух ветвей при их параллельном соединении определяются по правилу деления токов: I₁ = I*(U/R₁) = I*(R_экв./R₁) = I*(R₂/ R₁+R₂); I₂ = I*(R₁/ R₁+R₂).

С оединение элементов звездой или треугольником: Соединение трех сопротивлений в виде трехлучевой звезды (рис. 2.4, а), называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы образуют стороны треугольника (рис. 2.4, б), – «треугольник».

О чень часто при расчете электрических цепей оказывается целесообразным преобразовать треугольник в звезду. При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться выражениями: