- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
40.Признак Даламбера.
Пусть дан ряд , , если существ: , то данный ряд сход при q<1, и при q>1 расход. Д-во: равенс: , означ что N, что при n>N, будет ; q- рассмотр 2 случая: 1) q<1 выбер так, чтобы тогда: или an+1<( ) an – при n>N, пологая n=N+1, N+2.. получ an+2<an+1 ); an+3<an+2( ) an+1< ); an+4<an+3( ) <an+2( ); след начин с n+2 все члены ряда не превосх соотв членов геометр прогрессии, котор сход: <1 поэт сход и данный ряд; 2) пусть q>1 выбер так, чтобы , тогда , an+1>(q- an это означ что начин с номера N+1 все члены ряда возраст в этом случ не выполн необход признак сход и значит ряд расходится.
41.Признак Коши.
Пусть дан ряд , , если сущ , то данный ряд сход при q<1 и при q>1 расход. Д-во: услов ,означ что N, что при n>N, будет или отсюда q-
Рассм две ситуации:1) q<1 выбер так чтобы , тогда и )n, следов каждый член ряда начин с номера N+1 меньше соотв члена сходящ геометр прогрессии, поэтому данный ряд сход; 2) пусть q>1 выбер так, чтобы , тогда , )n, тоесть начин с номера N+1 члены ряда возрастают в этом случ не вып необход признак сход ряда и данный ряд расход.
42. Интегральный признак Коши
Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:
43. Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:
1) ;2) .
Тогда ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т. е. .
44. Абсолютная сходимость рядов
Пусть дан ряд =а1+а2+…, членами которого явл. действительные ч-ла любого знака. Рассм. ряд, составленный из модулей членов данного ряда =а1+а2+…
Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд .Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами сходится.Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Замечание. Для того, чтобы ряд был абсолютно сходящимся необх. и достаточно, чтобы ряды составленные только из положит. и только из отриц. Его членов были сходящимися.
45. Признаки Дирихле и Абеля
Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.Теорема (признак Дирихле) Пусть
1) последовательность монотонна и ,2) последовательность сумм , , ограничена.
Тогда ряд сходится.
Теорема 6 (признак Абеля) Пусть
1) последовательность ограничена и монотонна,
2) ряд сходится.
Тогда ряд сходится.
47.Функциональные последовательности и ряды.
Пусть на множестве задана последовательность функций
,принимающих числовые значения в точках . Последовательность называется поточечно сходящейся к функции на множестве , если при любом фиксированном числовая последовательность сходится к , т. е. : : . Поточечная сходимость функциональной последовательности обозначается , .
Пусть , , …, , … – последовательность функций, определенных на некотором множестве .
Ряд ,членами которого являются функции , называется функциональным.
Если ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда . Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
Для ряда конечная сумма называется -й частичной суммой и обозначается , а ряд называется -м остатком и обозначается .Ряд называется сходящимся поточечно к функции на множестве , если последовательность его частичных сумм сходится к на , т. е. . Функция называется суммой ряда.
Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если в каждой точке этого множества сходится ряд .