- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
Пусть треб н-ти экстрем ф-ции u=f(x1..xn, y1..ym) при налич услов связи Fi(x1..xn, y1..ym)=0 состав ф-цию: эту ф-цию наз ф-цией Лагранжа счит что для вып все услов сформулир ранее и что ф-ция u дифференц, выберем множет так чтобы выполн равенст: =0, =0, =0,
Это можно сдел т.к. эти рав прив к систем линейн уравнен: =0… =0 определ которой: , потому дифференц ф-ции: d + +…+ = +..+ т.к. при сдел предпол перемен x1..xn явл независ то отсюда: , в резул для нах условн экстрем получ сист n+2m уравн: … – n-уравн;
… =0 – m-уравн;
F1=0…Fm=0 –m- уравн.(*) решая эту ситем найд коорд точек возможн экстрем и множет: … . Предпол что в М0 вып необх услов условн экстрем.Пусть ф-ции u1, F1,F2…Fm дважды диференц в окрестн точки М0 и все частн произв 2-го порядка непрер в М0. Из построен ф-ции Лагранжа видно что при нал услов связи (2) экстрем ф-ции u и ф-ции Лагранжа совпад поэт для получ достат услов в точке М0 ф-ци u при нал связей след присоед к услов сис уравн (*), требов знака определ в этой точке при этом в точке М0 будет минимум если при налич связей: М0>0 услов min; М0<0-max. Замеч: второй дифференц М0 можно вычисл так как если бы все перемен x1..xn, y1..ym были незав в этом случ: =( 2 ..
37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
Пусть –
числовая последовательность. Выражение вида
называется числовым рядом, числа
, , …, , … – членами ряда, а
число – -м или общим членом ряда.
Сумма конечного числа первых членов
называется -й частичной суммой данного ряда.
В частности,
,
,
,
……………………
Если для последовательности
частичных сумм ряда существует
конечный предел , то ряд
называется сходящимся, а число
– суммой данного ряда:
.
Если предел последовательности
не существует или равен бесконечности,
то ряд называют расходящимся.
38.Необход признак сходим ряда.
Теор: если ряд сход, то его n-член стрем к 0, при n , тоесть =0.Д-во: рассмотр частичн суммы данного ряда: Sn-1=a1+a2+..+an-1;
Sn-=a1+a2+..+an-1+an т.к. ряд сход то Sn-1= Sn-=S ,т.к. an= Sn= Sn-1, то = (Sn- Sn-1)=S-S=0. Следств: n-член ряда не стрем к нулю при n , то ряд расход: . Расм ряд вида: =1+ an= , =0, то данный ряд расход предпол что данный ряд сход, тоесть: Sn=S, S2n=S, S2n- Sn)=0 однако: S2n- Sn= > n= получ против, следов данный ряд расход, этот ряд наз гармоническим.
39. Признак сравнения рядов
(признак Дирихле) Пусть
1) последовательность монотонна и ,2) последовательность сумм , , ограничена. Тогда ряд сходится.
(признак Абеля) Пусть
1) последовательность ограничена и монотонна, 2) ряд сходится. Тогда ряд сходится.
(признак Коши) Пусть для ряда ( ) существует предел . Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.
(признак сравнения) Пусть для членов рядов и справедливо неравенство . Тогда:1) если ряд сходится, то и ряд сходится, 2) если ряд расходится, то и ряд расходится
(интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство: