- •Функционал. Вариация и её свойства.
- •2.Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера.
- •3) Функционалы вида: ;
- •4)Функционалы зависящие от производных порядка выше первого. Уравнение Эйлера-Пуассона.
- •5)Понятие об обобщённых функциях.
- •6.Дискретное логическое уравнение и его решения при различных значениях параметра.
- •7.Понятие о детерминированном хаосе. Странный аттрактор.
- •8.Задача Стефана о фазовом переходе. (рис)
- •9. Уравнение Римана. Ударные волны.
- •- Уравнение Римана.
- •10. Уравнение Кортевяга - де Фриза. Солитоны.
- •11.Фракталы. Фрактальная размерность.
- •12. Модель Мальтуса.
- •13. Модель Ферхюльста.
- •14. Модель «хищник-жертва».
- •15.Распределение примесей в атмосфере.
- •16. Течение грунтовых вод. Уравнение Буссинеска. Гидрологический барьер.
- •17,18. Приближенные аналитические решения. Метод теории возмущений для уравнения.Приближенные аналитические решения. Метод теории возмущений для границы.
- •19. Приближенные аналитические решения. Метод конформных отображений.
- •20. Приближенные аналитические решения. Использование степенных рядов.
- •21. Колебания круглой мембраны. Понятие о функциях Бесселя.
- •22.Численные методы. Метод конечных разностей для уравнения Лапласа.
- •23.Численные методы. Явные разностные схемы.Уравнение параболического типа
- •24. Численные методы. Неявные разностные схемы.
- •2 5. Численные методы. Метод Рунге-Кутта.
- •28.Приближенное решение уравнений в частных производных методами вариационного исчисления. Метод Ритца.
- •29.Принципы теории управления
- •30. Дифуры с запаздыванием.Модель хатчинсона
- •31. Матричная модель Лесли
- •32.Трофические функции.Метод линеаризации
- •33.Понятие о стохастическихдифурах
- •34. Функция Грина для круга
- •35. Понятие об ортогональных полиномах.
- •36. Ньютоновский потенциал.
- •Внешняя задача.
- •37. Уравнение Лапласа в сферических координатах.
- •38. Температурные волны в почве.
30. Дифуры с запаздыванием.Модель хатчинсона
–популяции r-рождаемость
K-константа ,относящаяся к популяции(источник пища)
РИСУНОК В ТЕТРАДИ N=
Особи способны к размножению сразу после рождения на свет- это по уравнению Мальтуса и Ферхюльста
, h - простейший пример дифференциального уравнения с запаздыванием: до достижения возраста h (способного для размножения)они едят,а численность свою не увеличивают.
Автоколебания-это периодический процесс,возникающий в диссипативной системе засчет внешнего непериодического источника энергии. Частота автоколебаний определяется свойствами самой системы. амплитуда ,а след-но и энергия со свойствами внешнего источника. установившаяся амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий.
ПЕРВЫЙ РИСУНОК В ТЕТРАДИ (гармонические колебания)
ВТОРОЙ РИСУНОК В ТЕТРАДИ(автоколебания)
Если -уравнение имеет периодические решения,маленькое -уравнение Ферхюльста
РИС.В ТЕТРАДИ при
Увеличение параметра : РИС.В ТЕТРАДИ
При РИС. В ТЕТРАДИ
Пусть территория однородна: берем 2-ую производную по координате:
– из уравнения теплопроводности
В нашем случае:
D
Неопределенность среды: уравнение с переменными коэффициентами
U= = ru(t)[1-u(t-h)] 0
Чем более неоднородна среда(если D зависит от х и y ,а не const),тем в меньшей степени решение будет периодическим.
Характер изменения численности популяции зависит от того,как соотносятся рождаемость и деторождаемый возраст.
31. Матричная модель Лесли
x= - численность возрастной группы
x = -модель дискретного времени
x L x , L-матрица Лесли должна быть квадратной,размеромnxn
x L x =L x
x = x преобразование линейно-хаоса не будет и колебаний не будет
L=
=
=
=
Новорожденные попадают сразу в первую возрастную группу-сверху большой ноль,т.е до диагональных нулей; 'питер пен невозможен' ,т.е возраст всегда меняется-это нули по диагонали;
Во вторую группу переходит первая группа:
Если -то никого нет,т.е умерают, -коэффициент выжимаемости(переход из одной группы в другую)
Большой ноль(снизу)-нельзя перескакивать через группу(т.е происходит последовательный переход из одной группы в другую)
Если ресурсы не ограничены,смертность невелика:
РИСУНОК В ТЕТРАДИ ОН ВАЖЕН
32.Трофические функции.Метод линеаризации
Аналитических решений нет, но можно функцию линеаризировать и получить приближённое решение. Знать про седло, центр, устойчивыу фокус.
- если нет хищников будет изменяться по закону Мальтуса; если нет зайцев будет изменяться по экспоненте.
- зайцы , – волки – аналогично,только наоборот
ТРОФИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ описывает потребление жертвы одним хищником за единицу времени
ВАЖНЫЕ РИСУНКИ В КОНСПЕКТЕ:
РИС. У хищных рыб Рис. У малюсков Рис. Хищники(волки)
- описание трофической функции; – количество хищников; k- коэффициент переработки (переход биомассы одного в другого)
k=
⇒
Линейная система была бы: a-некие постоянные коэффициенты
Устойчивость по Ляпунову: при малом мзменении начальных условий отклонение системы не значительно.
В данном случае: нач.условияблизки,а решения отличны-неустойчивость
А=
(A -
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Есть какая-то функция f(x) ,линеаризуем эту функцию в малой окрестности точки в ряд Тейлора: f(x) (обрубим ,т.е получится полином)
f(x) а= вместо графика получим прямую линию
f(x,y)=f(
линеаризуем эту функцию в окрестности равновесных значений и :
- значение в самой равновесной точке
-характеристическое уравнение системы
Возможные колебания:точка покоя типа центра
Центр: -колебание с частотой
D=0 ⇒
Если
Если
Условие устойчивости около положения равновесия:
При -колебания Смысл функции-начальные численности волков и зайцев близки к равновесным. Рассмотрим функцию (удельное потребление жертвы)
При каком условии функция возрастает вблизи положения равновесия?берем производную:
Необходимое условие устойчивости состояния равновесия -возрастание функции вблизи положения равновесия. РИС.1 В КОНСПЕКТЕ (устойчивости не будет) РИС.2 В КОНСПЕКТЕ(линейная зависимость-const,устойчиво) РИС.3(вычисляем положение равновесия(точка перегиба):если слево от точки перегиба-устойчиво,если справа-неустойчиво)