8.Задача Стефана о фазовом переходе. (рис)

Есть полу бесконечный океан на берегу истоков холодильные установки воспроизводящие t= ˂0. Выясним закон движения волны на берегу океана. Скорость распространения:

0<x<

- на границе происходит скачок теплового потока.

;

α= ; α=α(U);

α(u)=

Примеры преобразования Больцмана:

Замена :

=

- методом разделения переменных.

интегрируем.

ln| ;

(

d ;

;

Введём новую функцию: erf(z)= (

Граничные условия:

На границе:

(t)=β x=(t)= β

⟹

⟹

Выделение тепла кристаллизации:

[ η

9. Уравнение Римана. Ударные волны.

Волны – это распространение частиц в пространстве.

– уравнение распространения волны. Где u – плотность вещества, а q – плотность потока. q=vu; d(x-vt)=0; x-vt-c;

U(x,t)=f(x-vt), U – любая дифференцированная функция.

𝛏=x-vt;

-v U(x,0)=ϕ(x-vt);

q=du+b

- нелинейное уравнение.

Замена:

-a

- Уравнение Римана.

;

Решение уравнения Римана и будет некая функция вида:

U(x,0)=f(x) (РИС а, б, в) Чем выше точка на волне, тем больше скорость. Верхние точки обгоняют нижние и волна запрокидывается.

Примеры: волна разбивается о берег.

• Из уравнения мелкой волны: (РИС)

• Возможная ситуация когда происходит скачок плотности. (РИС)

;

– уравнение Бюргеса.

;

• Диффузия сглаживает фронт волны, но не меняет её скорость.

10. Уравнение Кортевяга - де Фриза. Солитоны.

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости (первые солитоны, обнаруженные в природе), иногда считают таковыми волны цунами и бор

• ионозвуковые и магнитозвуковыесолитоны в плазме

• гравитационные солитоны в слоистой жидкости

• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера

• предположительно, примером солитона является Гигантскийгексагон на Сатурне

• можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы

• Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

Уравнение дисперсии (линейной):

Кортевяг де Фриз, уравнение: ( уравнение не линейное за счёт второго слогаемого). Решение в виде: u=u(x-vt), x-vt=𝛏; v>0;

=a

3β

3β =F(u);

F(u)

a= ; b=

Предположим, что все три корня вещественные: ; F(u)>0;

; (РИС) Предположим:

Выберем начальные условия так, чтобы постоянные а и b дали бы такие решения:

3 =

=u ;

=-

=

U(x,t)=3v ); А – амплитуда.

1≤ ; 0≤ ; 0≤u(x,t)≤A; (РИС)

• Чем выше солитон, тем больше его скорость;

• Чем больше высота, тем меньше ширина;

F(u)=

u(𝛏)= ; s=

cn- эллиптический косинус. Уравнение Кортевяга да Фриза определяется множеством решений.

s,t=const.

• Решение уравнения при такой замене будет многосолитонное. (РИС)

• При взаимодействии 2х солитонов они получают дополнительное перемещение: быстрый – вперёд, а медленный – назад.

- уравнение колебаний струны. Линейное, однородное с 2мя переменными, гиперболического типа.

- нелинейное уравнение. Уравнение sin Гордона.