- •Функционал. Вариация и её свойства.
- •2.Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера.
- •3) Функционалы вида: ;
- •4)Функционалы зависящие от производных порядка выше первого. Уравнение Эйлера-Пуассона.
- •5)Понятие об обобщённых функциях.
- •6.Дискретное логическое уравнение и его решения при различных значениях параметра.
- •7.Понятие о детерминированном хаосе. Странный аттрактор.
- •8.Задача Стефана о фазовом переходе. (рис)
- •9. Уравнение Римана. Ударные волны.
- •- Уравнение Римана.
- •10. Уравнение Кортевяга - де Фриза. Солитоны.
- •11.Фракталы. Фрактальная размерность.
- •12. Модель Мальтуса.
- •13. Модель Ферхюльста.
- •14. Модель «хищник-жертва».
- •15.Распределение примесей в атмосфере.
- •16. Течение грунтовых вод. Уравнение Буссинеска. Гидрологический барьер.
- •17,18. Приближенные аналитические решения. Метод теории возмущений для уравнения.Приближенные аналитические решения. Метод теории возмущений для границы.
- •19. Приближенные аналитические решения. Метод конформных отображений.
- •20. Приближенные аналитические решения. Использование степенных рядов.
- •21. Колебания круглой мембраны. Понятие о функциях Бесселя.
- •22.Численные методы. Метод конечных разностей для уравнения Лапласа.
- •23.Численные методы. Явные разностные схемы.Уравнение параболического типа
- •24. Численные методы. Неявные разностные схемы.
- •2 5. Численные методы. Метод Рунге-Кутта.
- •28.Приближенное решение уравнений в частных производных методами вариационного исчисления. Метод Ритца.
- •29.Принципы теории управления
- •30. Дифуры с запаздыванием.Модель хатчинсона
- •31. Матричная модель Лесли
- •32.Трофические функции.Метод линеаризации
- •33.Понятие о стохастическихдифурах
- •34. Функция Грина для круга
- •35. Понятие об ортогональных полиномах.
- •36. Ньютоновский потенциал.
- •Внешняя задача.
- •37. Уравнение Лапласа в сферических координатах.
- •38. Температурные волны в почве.
28.Приближенное решение уравнений в частных производных методами вариационного исчисления. Метод Ритца.
Решим задачи: - уравнение ЛапласаU/гр =U0
- уравнение Пуассона U/гр =0
Граничные условия: U/гр =U0(…)
(1)
=0
(2)
Берём производные:
Решаем уравнение Пуассона, причём отыскивать minэнергетич. Функционала.
Функция F – потенциальная энергия.
0<x<1 0<y<1U/гр =0
Метод Ритца (для минимализации функционалов)
n – порядковый номер
Функция Uявляется линейной комбинацией неких функций , ,…, /гр=0,
Будем считать, что - хорошие функции, гладкие, т.е. непрерывные произв., и на границах к 0.
Мы сами выбираем функцию, а затем к ним подбираем коэффициент ??????, они являются весовыми, т.е. своя функция вносит определённый вклад. Имеем право подобрать, т.е. задача на границе, т.к. ищем min, т.е. есть какие-то условия.
Выбираем ф-и:
……………………………………………
- некая функция коэфф. А.
Необход. усл.min этой функции это равенство нулю каждой из переменных, т.е.:
pA=Q
*В матричной форме
Преимущества: *Для точности можно взять больше функций. *Сложность вычислений:
*Получаем приближение решения через простые функции (аппроксимации многочленов)
Физический смысл функционала потенц. энергия.
29.Принципы теории управления
Тео́рияуправле́ния — наука о принципах и методах управления различными системами, процессами и объектами.
Делаем малые изменения и добиваемся больших результатов.
Рассмотрим систему:корабль течет по узкому проливу
Система описывается параметрами:направлениекорабля,сила тяги двигателя,сопротивление двигателя и т.п.x= f-некая функция
F= Эта система уравнений описывает поведение технической системы в данное время
Найти наиболее эффективный переход от заданного набора равновесных параметров к желаемому: а) перейти от одного к другому параметру б) с наименьшими затратами
Управление биоценоза
Меняем фактор и смотрим как изменится система.
Биоценоз: - система дифференциальных уравнений
-взаимодействие видов
-уравнение Мальтуса
j-хищник, i-жертва если оба “-“ –симбиоз ,если оба “+“- соперничество
нет взаимодействия:
,
Решив эту систему мы находим положение равновесия:
-компоненты вектора управления u=
, -численность популяции
Внешнее воздействие прямо-пропорционально численности популяции
N=
Каким должно быть управление?
Если
Тривиальное решение нас не интересует
Рассмотрим конкретную задачу(борьба с колорадским жуком)
Привозим на поле воду и удобрения:
-скорость изменения количества ресурса; - ресурс потребляется картофелем; - картошка растет по экспоненте; - количество картофеля уменьшается во взаимодействии с колорадским жуком; - нет картошки и колорадский жук будет дохнуть;
Система не имеет тривиального решения
,
Найдем равновесную численность каждой популяции:
- без слагаемых - со слагаемыми
Как добиться max урожая картофеля с min затратами?
Составляем функционал: J=
- стоимость единицы биомассы картофеля; - стоимость затрат на внесение ресурсов с единичной скоростью; - стоимость затрат на внесение инсектицидов с единичной скоростью; - на выращивание биомассы хищника(фазан)
Должны найти экстремум (max) этого функционала,а потом определить параметры:
-физический метод -химический метод эффективней
система состоит из уравнений,разрешенных относительно производных
=0
=0 система алгебраических уравнений 2 порядка,т.к произведение уравнений
=0
Тривиальное решение имеют только однородные уравнения !!!( а первое уравнение в системе неоднородное след-но нетривиальное решение)
⇒каждая равновесная численность должна быть неотрицательной.