13.Определитель Вронского. Св-ва лн решений лоду n-го.

{O} W(x)=|y₁,y₂,…,y_n ; y₁’,y₂’,…,y_n’ ; y₁^(n-1),y₂^(n-1),…,y_n^(n-1) | определитель Вронского для системы ф-ций y₁,y₂,…,y_n на [a b] {Свойства ЛOДУ}{T} Пусть y₁+y₂+…+y_n линейно независимое решение ур-я L[c₁y₁+c₂y₂]=c₁L[y₁]+c₂L[y₂] на [а b]=/=0 ни в одной точке. {Д} Предположим пусть сущ. точк. x₀ из [а b] такая, что W(x₀)=0. запишим систему : {a₁y₁(x₀)+ a₂y₂(x₀)+…+a_ny_n(x₀)=0 ; a₁y₁’(x₀)+ a₂y₂’(x₀)+…+a_ny_n’(x₀) ; … ; a₁y₁^(n-1)(x₀)+ a₂y₂^(n-1) (x₀)+…+a_ny_n^(n-1) (x₀)} (1) - лин. однор. сист. ЛУ определитель системы =0 т.е существует ненулевое решение этой системы α₁,α₂,…,α_m из этого решения составим ф-цию y(x)= a₁y₁(x)+ a₂y₂(x)+…+a_ny_n(x) при x=x₀ {y(x₀)=0; y’(x₀)=0 ; …; y^(n-1)(x₀)=0} (2) будем рассматривать это выражение как начальное условие выражения (1) По теореме о сущ. и ед. решения ур-я n-го порядка ур-е (1) с нач. усл. (2) имеет единственное решение : y(x)=0  a₁y₁(x)+ a₂y₂(x)+…+a_ny_n(x)=0  x[a;b] т.к. α₁=/=α₂=/=α_n=/=0 , то  y₁,y₂,…,y_n- линейно зависимы на [a b] что противоречит условию теоремы.  предположение что W(x)=0 не верно.

14.Структура общего решения оду n-го.

yⁿ+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=0 (1) {Т}Общим решением ур-я (1) является ф-ция y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+…+ c_my_m(x) (2) где y₁(x),y₂(x),…,y_m(x) линейно независимы на [a b] ф-ции (решение ур-я (1)) с₁,c₂,c_m-произвольные постоянные. {Д}Наложим n произвольных начальных условий y(x₀)=y₀; y’(x₀)=y₀’; …; y^(n-1)(x₀)= y₀^(n-1) где n₀ любая точка [a b] из определения  что (2) будет общим решением ур-я (1) если по заданному условию при любом (x₀) однозначно можно определить постоянные с₁, c₂, c_n потребуем, чтобы (2) удовлет. нач. услов. т.е. {c₁y₁(x₀)+c₂y₂(x₀)+…+c_ny_n(x₀)=y₀ ; c₁y₁’(x₀)+c₂y₂’(x₀)+…+c_ny_n’(x₀)=y₀ ;…; c₁y₁^(n-1)(x₀)+c₂y₂^(n-1)(x₀)+…+c_ny_n^(n-1)(x₀)=y₀} (3) хоть 1-о из начальных значений =/=0 система ур-й (3) относительно независимых с₁, c₂, c_n будет системой неодн. алгебр. ур-й т.е. с n неизвестные Из свойств решений ОДУ что W(x)=/=0 Определитель системы (3) – определитель Вронского сy (3) имеет ед. реш. для с₁, c₂, c_n (т. Крамера) т.е (2) действительно общее решение (1). Совокупность n лин. нез. реш. ур-я (1)

называется фундаментальной системой решений ур-й (1) таким образом для решения необх. Знать систему.

15. Решение олду n-го с пост. Коэффиц.

{O} yⁿ+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=0 (1) где a_i действительные числа. Ищем решение ур-я в виде ф-ции y=e^kx где k неузв. пост. Подставим её в пример y⁽ⁿ⁾=xe^kx=ke^kx, то подставляя все эти производные в (1) получим kⁿe^kx+a₁k^(n-1)e^kx+…+a_n-1ke^kx+a_ne^kx=0, делим на e^kx=/=0 kⁿ+a₁k^n-1+…+a_n-1k+a_n=0 (2)- характ. ур-е для (1). Из алгебры  ур-е (2) имеет n корней и возможны 3-и случая: 1) Все корни корни действ. и различ. т.е k₁=/=k₂=/=k_n , получим y₁=e^k1x,y₂=e^k2x,…,y_n=e^knx. Из линейной независимости ф-ции y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+…+ c_my_m  эти ф-ции линейно независимы. y=c₁e^k1x+c₂e^k2x+…+ c_ne^knx 2) Среди корней хар. ур–я есть комплексные, допустим k₁=α+iβ из алгебры известно, что ур-е с действ. коэфф. если имеет комплексный корень, то имеет и комплексно-сопряжённый корень т.е x₂=α-iβ также корень х.у. (y’’+y’-2y=0) (2) y₁=e^{(α +iβ)x} y₂=e^(α-iβ)k, y₃=e^k3x,…, y_n=e^knx такая система употребима , e^{(α +iβ)x}=|формула Эйлера|=e^αx(cosβx+isinβx) и аналогично ŷ₁=e^αxcosβx, ŷ₂=e^αxsinβx из св-ва линейного оператора если ф-циb u(x)+iv(x)-решение ЛДУ , то u(x) и v(x) также решения этого ур-я y₁, y₂ решения (1) и W(x)=| y₁, y₂; y₁’, y₂’|=/=0  получим y₁=e^αxcosβx, y₂=e^αxsinβx, y₃=e^k3x,…, +e^knx y= c₁e^αxcosβx+c₂e^αxsinβx,+…,+c₃=e^k3x+c_ne^knx (y’’’-8y=0) 3) Среди корней х. ур-я имеются кратные корни. Пусть k₁=k₂=k=k_m , остальные корни действительные и различные (x-k₁)^m(p_n-m(k)) k(i)- корень кратности m. e^k1x,e^k2x,e^knx-линейно зависимые, не могут участвовать в решении. Найдём линейно-независимые ф-ции y₁=x^n-1e^kx, y₁=x^n-1e^kx, y₁=x^n-1e^kx,…, y₁=x^n-1e^kx- будут линей. нез. реш. ур-я (1). Линейная независимость следует из примера 3) линейной независимости. y’’+_a1y’+a₂y=0 (3) k²+a₁k+a₂=0 k₁=k₂=-a₁/2 и a₁²/4-a₂²=0 y₁=e^-a1x/2 y₂=xe^-a1x/2 решен ур (3) y₂’=e^-a1x/2-a₁/2xe^-a1x/2=(1-xa₁/2)e^-a1x/2 y’’=-a₁/2e^-a1x/2-a₁/2e^-a1x/2+a₁²/4xe^-a1x/2-a₁+a₁²x/4+a₁-a₁²x/2+a₂x=0 a₂=a₁²/4 0=0

16. Св-ва ЛНДУ n-го

{O}y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=F(x) (1) a_i- непрерывна на [a b] L[y]- линейный оператор L[y]=F(x) (1') {Свойства} 1)Если y_н

Частное решение ур-я (1) ŷ- решение соответствующее однородному ур-ю то y=ŷ+y_н-решение ур-я (1’) {Д} L[y]=L[ŷ+y_н]=|по св-ву линейности|=L[ŷ]+L[y_н]=|т.к L[y]=0 L[y_н]=F(x)|=F(x)  L[ŷ+y_н]=F(x) 2) Если y₁ и y₂ – решение ур-я L[y]=F₁(x) и L[y]=F₂(x) соответственно , то y₁+y₂-решение ур-я L[y]=F₁(x)+F₂(x) {Д} L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂]=|по свойству линейности |= F₁(x)+F₂(x)  L[y]=F₁(x)+F₂(x). 3) Если y=u(x)+iv(x) решение ур-я L[y]=u(x)+iv(x) то u(x)- решение ур-я L[y]=u(x), v(x)- решение L[y]=v(x) {Д}L[y]=L[u+iv]=L[u]+iL[v]=u(x)+iv(x) {L[u]=u(x) ; L[v]=v(x) }