diff_ur_stud
.pdf1
Вариант № 1.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы
AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие. |
|||||||||||||||
1. |
¡3y |
|
|
x + y +¢ |
1 |
|
¡ ¡ |
|
|
¢ |
; |
y(1) = 1 |
|||
|
|
3 |
+ 6x2y |
dx |
3x3 + 2xy2 |
dy = 0 |
|
||||||||
2. |
y0 = |
|
|
|
|
, (подстановка x = x1 ¡ 1, y = y1) |
|||||||||
x |
¡ |
y + 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
xy0 + y = ln x; y(1) = 0 |
|
|
|
|
||||||||||
4. |
y0 ¡ 2y tg x + y2 (sin x + 1) = 0; y(0) = 1 |
|
|||||||||||||
5. |
(2x + 3 cos(3x + y)) dx + cos(3x + y) dy = 0 |
||||||||||||||
6. |
x(y00 |
+ 1) + y0 = 0; y(1) = y0(1) = 0 |
|
|
|||||||||||
7. |
2(y0)2 = y00(y ¡ 1); y(0) = 2; |
y0(0) = 1 |
|
|
|||||||||||
8. |
y00 + 2y0 |
+ 2y = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
ex sin x |
|
|
|
|
|
9.y00 ¡ 4y0 + 4y = 8x2; y(0) = 2; y0(0) = ¡1
10.y000 ¡ 3y00 = (18x + 3) e3x
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 |
+ 4y = ¡8 sin 2x + 32 cos 2x + 4e2x |
||||||||||
12. |
A = |
|
1 |
6 |
|
X |
0 |
= |
¡2 |
¶ |
|
µ ¡3 |
¡5 ¶, |
|
µ |
¡1 |
|
||||||
|
A = Ã |
1 |
2 |
3 |
!, X0 = |
à |
0 |
! |
|||
13. |
0 |
1 |
¡2 |
3 |
|||||||
|
|
0 |
2 |
¡2 |
|
|
|
|
¡1 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: произведение углового коэффициента касательной в любой точке и координат точки касания равно единице.
15.На плоскости Oxy выделить область, в которой через каждую точку
проходит единственное решение дифференциального уравнения y0 = 2 + p y ¡ 3x.
2
Вариант № 2.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1.y0 ¡ 6 ¢ y = y2 + 6; y(2) = ¡8 x x2
2. y0 = |
x + y ¡ 1 |
, (подстановка x + y = z) |
|
2x + 2y + 3 |
|||
|
|
3.y0 ¡ y tg x = sin x; y(0) = 12
4.y0 + xy ¡ x3y3 = 0; y(0) = 1
5.¡y2 + 1 + yexy¢dx + (2xy + xexy) dy = 0
6.y ¢ y00 + (y0)2 = 1; y(p2) = 1; y0(p2) = p2
7.y00 + 2y0 = ex ¢ (y0)2; y(0) = y0(0) = 1
8. y00 |
¡ 2y0 |
+ 2y = |
ex |
|
cos3 x |
|
9.y00 + 3y0 = 18x2 + 12x ¡ 3; y(0) = y0(0) = 2
10.y000 ¡ 3y00 + 4y = (18x ¡ 21) e¡x
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 |
+ 9y = ¡18 sin 3x ¡ 18e3x |
|||||||||||
12. |
A = |
µ |
¡1 |
|
1 |
¶, |
X |
0 |
= |
1 |
|
|
A = |
¡5 |
|
1 |
|
µ |
3 ¶ |
! |
|||||
13. |
à |
1 |
0 |
|
¡1 |
!; |
X0 = Ã |
0 |
||||
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2) и обладающей следующим свойством: равны угловые коэффициенты касательной в любой точке и радиус-вектора точки касания.
15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y0 = x2 + y2 пересекаться в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить, используя теорему существования и единственности решения задачи Коши.
3
Вариант № 3.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы
AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1. ¡x2 + xy ¡ y2¢dx + ¡2xy ¡ x2¢dy = 0; y(1) = 0
|
y0 |
= 2x ¡ 3y + 5 |
z = 2x |
|
3y |
|
|||||
2. |
|
|
6y ¡ 4x ¡ 1 |
, (подстановка |
|
¡ |
|
|
) |
||
3. |
(x2 + 1)y0 + xy = 3(x3 + x); y(0) = 0 |
|
|
|
|
||||||
4. |
y0 |
¡ y ctg x = y2; y(2p ) = 1 |
|
|
|
|
|
||||
5. |
µcos2(x ¡ 2y) + y¶dx + µx ¡ cos2(x ¡ 2y)¶dy = 0 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6.cos y ¢ y00 ¡ (y0)2 sin y = y0 cos y; y(0) = 0; y0(0) = 1
7.y00 ¢ (y0)2 = x2; y(1) = 1; y0(1) = 1
e¡2x
8. y00 + 4y0 + 5y = cos x
9. y00 + 3y0 = 3xe¡3x; y(0) = 1; y0(0) = 2=3
10. |
y000 ¡ 5y00 + 8y0 |
¡ 4y = (2x ¡ 5) ex |
|
|||||||
11. |
Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част- |
|||||||||
ного решения: y00 |
¡ 2y0 + 2y = ex + x cos x |
|||||||||
12. |
A = |
¡1 |
2 |
¶, |
X |
0 |
= |
1 |
¶ |
|
A = |
µ ¡2 |
¡1 |
|
µ |
¡2 |
! |
||||
13. |
à ¡2 |
¡1 |
0 |
!, |
X0 = Ã |
0 |
||||
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
¡1 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: разность углового коэффициента касательной в любой точке и ординаты точки касания равна квадрату абсциссы этой точки.
15.При каких неотрицательных значениях параметра a и в каких точ-
ках плоскости нарушается единственность решений дифференциального уравнения y0 = x2ya ?
4
Вариант № 4.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы
AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1. xy0 ¡ y = 2px2 + y2; y(1) = 0
|
y0 = x ¡ 2y + 5 |
|
|
z = x |
|
2y |
|
||||||||
2. |
|
|
|
3 |
¡ |
x + 2y |
, (подстановка |
|
|
¡ |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
xy0 |
+ y = x sin x; y(p) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
xy0 |
¡ y + y2(ln x + 2) ln x = 0; y(1) = 1 |
|
|
|||||||||||
5. |
µ |
|
1 |
+ 3x2y¶dx + µx3 |
¡ |
|
1 |
¶dy = 0 |
|||||||
x |
y |
x |
y |
||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
6.y3y00 = ¡1; y(1) = y0(1) = 1
7.y00 cos x + y0 sin x = cos2 x; y(0) = y0(0) = 1
8. y00 |
¡ 6y0 |
+ 13y = |
e3x |
|
sin3 2x |
|
9.y00 ¡ 5y0 = 15x2 + 4x ¡ 7; y(0) = y0(0) = 1
10.y000 ¡ 4y00 + 4y0 = (x ¡ 1) ex
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + y = 2 sin x + 2ex |
|
|||||||
12. |
A = µ |
¡1 |
0 |
¶, X0 = µ |
¡1 |
¶ |
|
|
|
A = Ã |
0 |
4 |
|
!, X0 |
4 |
|
! |
13. |
0 |
¡1 |
¡4 |
= Ã ¡3 |
||||
|
|
1 |
1 |
¡3 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
¡1 |
¡2 |
|
|
2 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; ¡1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен отношению суммы абсциссы и ординаты точки касания к разности этих величин.
15.Сколько существует решений дифференциального уравнения
y000 = x2 + 2y3, удовлетворяющих условиям y(0) = 1, y0(0) = 2? Ответ объяснить.
5
Вариант № 5.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1.¡y2 ¡ 2xy¢dx + x2dy = 0; y(1) = 2
2.y0 = ¡8x + 4y + 1, (подстановка z = 4x + 2y)
4x + 2y + 1
3. |
y0 |
¡ 2xy = 2x3; y(0) = 0 |
||
|
|
2 |
|
|
4. |
y0 |
¡ y tg x + |
|
y4 sin x = 0; y(0) = 1 |
3 |
||||
5. |
2xex2+y dx + ³ex2+y + 2y´dy = 0 |
6.y00
7.y00
8.y00
= |
y0 |
+ |
y0 |
ln |
y0 |
; y(1) = 0; y0(1) = e |
|
x |
x |
x |
|||||
|
|
|
|
= 4y3y0; y(0) = y0(0) = 1
+ 2y0 + 10y = e¡x cos 3x sin2 3x
9.y00 + y0 ¡ 2y = 18xex; y(0) = 1; y0(0) = 2
10.y(4) ¡ 3y000 + 3y00 ¡ y0 = 2x
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 |
¡ 8y0 |
+ 17y = x2e4x ¡ 3e4x sin x |
||||||||||||
12. |
A = |
|
|
1 |
¡1 |
|
X |
0 |
= |
µ |
|
2 |
¶ |
|
A = |
µ ¡1 |
¡1 ¶, |
|
|
¡3 |
! |
||||||||
13. |
à |
2 |
1 |
¡4 |
!, |
X0 |
= |
à |
|
3 |
||||
|
|
|
1 |
0 |
¡2 |
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен произведению координат точки касания.
15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x2 +y2 касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить.
6
Вариант № 6.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1.xy0 ¡ y = (x + y) ln x +x y ; y(1) = e ¡ 1
2.y0 = ¡ x + 2y ¡ 1 , (подстановка x + 2y = z)
2x + 4y ¡ 1
3.y0 cos x ¡ y sin x = x sin x; y(0) = 0
¡¢
4.1 ¡ x2 y0 ¡ xy + xy2 = 0; y(0) = 12
µ¶
x + 2y dy = 05. (ln y + 2x) dx +
y
6. x (y0)2 y00 ¡ (y0)3 = x4 ; y(1) = 0; y0(1) = 1 3
7.y00x ln x = y0; y(e) = 1; y0(e) = 1
8. y00 + 2y0 + y = |
e¡x |
1 + x2 |
9.y00 ¡ 2y0 ¡ 3y = (5x + 1)e4x; y(0) = 0; y0(0) = 0
10.y000 ¡ 2y00 = 3x2 + x ¡ 4
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + 2y0 + 5y = (x2 ¡ 3)e¡x ¡ sin 2x
12. |
A = |
µ |
1 |
¡1 |
¶, |
X |
0 |
= |
µ |
2 |
¶ |
|
|
A = |
2 |
¡1 |
|
|
1 |
! |
|||||||
13. |
à |
1 |
0 |
1 |
!, X0 |
= Ã |
0 |
||||||
|
|
|
1 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: ордината произвольной точки втрое меньше длины отрезка от начала координат до точки пересечения касательной с осью 0y.
15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x2 + 2y2 пересекаться в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Почему?
7
Вариант № 7.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1. xy0 ¡ y = x tg xy ; y(1) = p=6
2.y0 = 1 ¡ x ¡ y , (подстановка x + y = z) x + y + 5 p
|
y0 |
|
|
y |
|
|
|
x |
|
= |
|
|
|
1 ¡ x2 |
y(0) = 0 |
|
|||
3. |
¡ |
|
¢ |
|
1 ¡ x2 |
|
1 + x2 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
y0 |
+ 2xy = 4x3y3; y(0) = 1 |
µ¡ y3 + |
1 + (x + y)2 |
|||||||||||||||
5. |
µy12 |
+ 1 + (x + y)2 |
¶dx + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
1 |
|
6. |
1 ¡ x2 |
|
y00 ¡ xy0 = 2; y(0) = y0(0) = 0 |
||||||||||||||||
7. |
y |
y3 |
= 1 |
y(0) = 1 |
; |
y |
(0) = 0 |
|
|||||||||||
¡00 |
|
|
|
¢ ; |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
8. |
y00 ¡ 2y0 + y = |
|
|
xex |
|
|
|
||||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
|
|
¶
dy = 0
9.y00 + 4y0 + 4y = 32xe2x; y(0) = 1; y0(0) = ¡1
10.y(4) ¡ 2y000 + y00 = 2x(1 ¡ x)
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + 16y = 16 cos 4x ¡ 16e4x
12. |
A = |
µ |
1 |
¡5 |
¶, |
X |
0 |
= |
0 |
¶ |
|
A = |
¡1 |
¡5 |
|
µ |
¡1 |
! |
|||||
13. |
à |
0 |
¡1 |
¡1 |
!, |
X0 = Ã ¡2 |
|||||
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
¡4 |
¡2 |
|
|
|
|
3 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; e¡e 1 ) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен разности ординаты и квадрата ординаты точки касания.
15.При каких начальных условиях существует единственное решение
системы дифференциальных уравнений |
|
|||||||
½ |
dx |
= |
y2 + p |
|
; |
|
||
t |
? |
|||||||
dt |
= |
p3 x |
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
8
Вариант № 8.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы
AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1. xyy0 = x2 + 2y2; y(1) = p3
2. y0 = 10x + 2y ¡ 1, (подстановка 5x + y = z)
3.xy0 + y = xex2 ; y(1) = 2e
4.3y0 + 2xy = 2xy¡2e¡2x2 ; y(0) = ¡1
5.(1 ¡ y sin xy) dx + (2y ¡ x sin xy) dy = 0
6.(1 + ey) y00 + (y0)2 ey = y0ey; y(1) = 0; y0(1) = 1 ¡x3 + 1¢ = 3x2y0; y(0) = 0; y0(0) = 1 27. y00
|
1 |
|
8. y00 |
+ 4y = |
|
sin3 2x |
9.y00 ¡ y = ¡x2; y(0) = 3; y0(0) = ¡3
10.y000 ¡ 3y00 ¡ y0 + 3y = (4 ¡ 8x)ex
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + 25y = 20 cos 5x + 50e5x
12. |
A = |
µ |
4 |
¡5 |
¶, |
X |
0 |
= |
µ |
5 |
¶ |
|
|
|
5 |
¡4 |
|
|
4 |
|
|||||||
13. |
A = |
à |
2 |
1 |
0 |
!, X0 |
= Ã |
2 |
! |
||||
0 |
2 |
2 |
5 |
||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (e; e) и обладающей следующим свойством: произведение углового коэффициента касательной в любой точке на абциссу точки касания равно сумме координат этой точки.
15.Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить на плоскости Oxy область, в которой через каждую точку проходит
единственное решение уравнения
(y ¡ x)y0 = y ln x.
9
Вариант № 9.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1.xy0 cos xy + x = y cos xy ; y(1) = 2p
2.y0 = y ¡ 2x + 3 , (подстановка x = x1 + 2; y = y1 + 1)
2y ¡ 3x + 4
3.y0 ¡ x2 y = 4x3 ln x; y(1) = ¡1
4.3xy0 + 5y = (4x ¡ 5)y4; y(1) = 1
µ1 ¶dx + µ2x2y + 3 ¶dy = 0 x + 3y x + 3y
6.(y + 1)y00 ¡ y0 = (y0)2; y(0) = y0(0) = 1
7.(1 + x2)2y00 + 2x(x2 + 1)y0 = 1; y(0) = y0(0) = 0
e¡2x
8. y00 + 4y0 + 4y = 1 + x2
9. y00 + 3y0 + 2y = ¡20 sin 2x; y(0) = 4; y0(0) = 2
10. y(4) ¡ 3y000 + 3y00 ¡ y0 = x ¡ 3
11. |
Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част- |
||||||||||
ного решения: y00 |
+ 36y = 24 sin 6x + e6x |
||||||||||
12. |
A = |
2 |
¡1 |
¶, |
X |
0 |
= |
3 |
¶ |
|
|
A = |
µ ¡1 |
¡2 |
|
|
µ 2 |
! |
|||||
13. |
à ¡5 |
0 |
1 |
!, X0 |
= Ã |
4 |
|||||
|
|
¡3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и обладающей следующим свойством: длина отрезка от начала кординат до точки пересечения любой касательной с осью Oy равна длине радиус-вектора точки касания.
15.Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, опре-
делить, при каких начальных условиях существует единственное решение дифференциального уравнения (x + 1)y00 = (y0)2 + py ?
10
Вариант № 10.
В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы
AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.
1. ¡4x2 ¡ xy + y2¢dx + ¡x2 ¡ xy + 4y2¢dy = 0; y(1) = 0
2. |
y0 = |
x ¡ y + 2 |
, (подстановка |
x |
¡ |
y = z |
) |
|
|
3x ¡ 3y ¡ 2 |
|
|
|
||||
3. |
xy0 + y = xex; y(1) = 0 |
|
y ¡ |
2p ¢ = 1 |
||||
4. |
2y0 sin x + y cos x = y3(cos x + 1); |
5.e2y dx + (2xe2y ¡ 3y2) dy = 0
6. xy00 ¡ y0 = x2e¡x; y0(1) = ¡1e ; y(1) = 2e
7.2yy00 = (y0)2 + 1; y(0) = 1; y0(0) = 0
8. y00 ¡ 6y0 + 9y = |
xe3x |
1 + x2 |
9.y00 ¡ 2y0 + 5y = 8xex; y(0) = ¡1; y0(0) = 1
10.y000 ¡ 2y00 + 5y0 = 15x2 ¡ 2x ¡ 3
11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + 9y = 2 cos 3x ¡ sin 3x + xe3x
12. |
A = |
µ |
2 |
¡5 |
¶, |
X |
0 |
= |
5 |
¶ |
|
||
A = |
1 |
¡2 |
|
|
µ |
¡1 |
! |
||||||
13. |
à |
1 |
¡2 |
|
0 |
!, X0 |
= Ã |
0 |
|||||
|
|
|
1 |
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
¡1 |
¡1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент любой касательной численно больше суммы координат точки касания на единицу.
15.Сколько существует решений дифференциального уравнения
y0 = x + y2, удовлетворяющих одновременно двум условиям: y(0) = 1 и y0(0) = 2 ? Почему?