1. {O} ду, решение, порядок ур-я.

{O}ДУ.- уравнение, в котором неизвестная ф-ция входит под знаком производной или дифференциала. {O}Решение ДУ - ф-ция, которая при подстановки в уравнение обращает его в верное неравенство (тождество).{O}Порядком ур-я – наименьший порядок производной от неизвестной ф-ции в ДУ {O}Обыкновенное ДУ-если ДУ содержит неизвестную ф-цию одной переменной.{O}ДУ частных производных-если неизвестная ф-ция входит в уравнение под знаком частных производных .

2.ДУ 1-го порядка

{O}ДУ 1-го называется ур-е вида f(x,y,y')=0 Если это ур-е можно решить относит. производной y', то получим ур-е вида y'=f(x,y) где f(x,y) заданная ф-ция 2-х переменных.

3.{T} существования и единственности . Задача Коши. Частное и общ. Решение ду 1-го.

{T}Пусть f(x,y) определена и непрерывна в месте с f/y в нек. области DR, тогда во всей области D существует решение ур-я f(x,y,y')=0 (1) удовлетворяющего условию y(x₀)=y₀ (2) где (y₀,x ₀)D. Если сущ. 2 решения ур-я (1) то эти решения тождественно равны т.е. y₁(x)=y₂(x) в области D. Вывод: числа x₀ y₀ в (2) – начальные значения, а (2)- начальное условие ДУ. {O}Задача Коши-задача нахождения переменного значения с условием. {O}Общее решение ур-я 1-го порядка-множество всех частных решений ур-я (1), если обозначить с y₀-с то y=y(x,c) c- произвольная постоянная. {O}Частное решение – решение ДУ (1) при условии (2).

4. Ур-е в полных дифференциалах, его решение.

{O}ДУ в полн. дифф.- ДУ вида y'=-P(x,y)/Q(x,y) Q(x,y)=/=0 ни в одной точке обл. D и выполняется Q/x=P/y (1) dy/dx= -P/Q  P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2) Ур-е в полных дифф. это ур-е (2) при условии (1). Из выполнение условия (1) для (2)  левая часть (1) может быть представлена как полный дифф. dU(x,y)=0 (3) где P(x,y)=dU/dx Q(x,y)=U/y, чтобы найти U, нужно проинтегр. ур-е (3) т.е. найти потенциал векторного поля {P,Q}, решение U(x,y)=0.{T}Если y=y(x) решим диф. ур-е (2) при условии (1), то это решение удовл. ур-ю U(x,y(x))=c и обратно. Всякая неявно заданная ф-ция ур-ем U(x,y(x))=c будет решением ДУ (2) при условии (1). {Д} Пусть y=y(x) решение ДУ (2) при усл (1) – из опред. решения ур-яP(x,y(x))dx+Q(x,y(x))y'dx=0 P(x,y)=dU/dx Q(x,y)=U/y, тогда dU/dx*(x,y(x))dx+U/y(x,t(x))dy=0 dU(x,y(x))=0 U(x,y(x))=c. {Д}Пусть y=y(x)- ф-ция неявно заданная ур-ем U(x,y(x))=c dU/dx*dx+(dU/dy*dy*dx /dx)=0 обозначив dU/dx=P dU/dy=Q мы придём к (2).  общее решение ДУ в полных дифф. находится в виде U(x,y)=c, а решение-вычесления потенциала

5. Ур-е с разделяющимися переменными.

{O}ДУ с разделяющимися переменными- ур-е вида y'=f(x)g(y) (1) или M₁(x)N₁(y)dx+ M₂(x)N₂(y)dy=0 Наложим условие: Пусть f(x) и g(x) ф-ции непрерывны на нек. мн-ве. dy/dx=f(x)g(y)dy/g(y)-f(x)dx=0 – частный случай в в уравнении в полном дифф. P=-f(x) Q=1/g(x) U=òdy/g(y)-òf(x)dx=c это общее решение ур-я с разделяющимися переменными.

6. ОДУ-1 и его решение.

{O}ДУ-1- вида M(x,y)dx+N(х,y)dy=0 (1) где M(x,y) и N(х,y) однородные одинакового измерения. {O}Ф-ция φ(x,y) называется однородной измернния m, если для любых t выполняется равенство φ(tx,ty)=t^mφ(x,y). {Cв-ва}Если φ(x,y) 0-го измерения то ф-ция сводится к ф-ции одной переменной φ(x/y). {Д} Пусть φ(x,y) однородная, 0-го измерения т.е φ((1/x)x,(1/x)y)= φ(x,y) φ(x,y)= φ(1,y/x)= φ(y/x) ур-е (1) приводим к виду N(х,y)dy=- M(x,y)dx dy/dx=- M(x,y)/ N(х,y) y'=f(x,y) где f(x,y)=- M(x,y)/ N(х,y) ф-ция 0-го измерения по свойству одногодной ф-ции получим, что ур-е сводится к ур-ю вида y'= φ(y/x) вводим замену y/x=u(x) y(x)=u(x)x y'= u'x+u u'x+u=φ(u) u'x=φ(u)-u u'=(φ(u)-u)1/x- ур-е с разделяющимися переменными.

7.ЛДУ 1-го, решение. Ур-е Бернулли, его решение.

{O}ЛДУ-1 ур-е вида y'+P(x)y=F(x) (1) Где P(x) и F(x)- непр. Ф-ции при x( x₁,x ₂). Если ур-е записать в виде y'=-P(x)+F(x)  удовл. условию теоремы сущ. и един. в области D={(x,y)|:x( x₁,x ₂), yR}.{Т}Всякая ф-ция вида y=e^-∫P(x)dx[R(x)e^∫P(x)dxdx+c] есть общее решение ур-я (1). {Д}Пусть задали нач. условие (y₀,x₀)-точка и области D y₀= e^-∫xP(x)dx[R(x)e^∫xP(x)dxdx+c]x=x_{0 x0}ò^x=0 по св-ву инт. C= y₀ e⁰=1- существ. значение с т.е y имеет единственное решение и y-общее реш. ур-я (1). y=e^-∫P(x)dx[R(x)e^∫P(x)dxdx+c] (2) y=u(x)v(x) где u(x)=e^-∫P(x)dx v(x)=R(x)e^∫P(x)dxdx+c Из ур-я (1) y'₀+F(x)y₀=0 dy₀/y₀=-P(x)dx lny₀=-P(x)dx+lnc lny₀/c=-P(x)dx y₀=Ce^-∫P(x)dx при с=1 u(x)=y₀(x) Если u(x) подст. в вид для ур-я y=u(x)u[x] и получкнное знач. y подставить в ур-е (1) то получим ур-е относительно ф-ции v(x), общее решение которого даст второй сомножитель в (2), а это подстановка. {O}Уравнение Бернулли- y'-P(x)y=F(x)y^a a=/=1 замена y=z ^1/1-a. Метод Бернулли y=uv Подставим в (1) y''=u'v+uv' u'v+uv'+P(x)uv=F(x) {v'+P(x)v=0 ; u'v=F(x)} из первого ур-я получим v=e^-∫P(x)dx подставим во второе и найдём общее решение u(x) y'+xy=-x y=uv y'=u’v+uv’ u’v+uv’+xuv=-x {v’+xv=0 ; u’v=-x } v’+xv=0 dv/dx+xv=0 dv/v=-xdx lnv=-x² /2 v=e^-x2/2 u’e^-x2/2=-x или u’=-xe^x2/2dx u=-e^x2/2dx²/2=-e^x2/2+c y=uv= e^-x2/2(-e^x2/2+c) y=-1+ce^-x2/2.

8.ДУ n-го. Постановка задача Коши для ур-я. Частное решение.

{O}ДУ n-го порядка – ур-я вида F(x,y,y'…y^n-1,yⁿ)=0. Если это ур-е можно разрешить y⁽ⁿ⁾ то получим в виде y⁽ⁿ⁾=F(x,y,y'…y^n-1)=0 (1). y(x₀)= y₀, y’(x₀)= y₀’,…,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1) (2) выражение (2) называется начальным условием ур-я (1) а решение (1) с заданным начальным условием (2) называется задачей Коши (или частным решением ур (1)).Частное решени- Обозначим нач. условия y₀=c₁, y₀’=c₂ т.к решение ур-я (1) с условиями (2) можно записать в виде y=y(x,y₀,y₀’…y₀^(n-1)) то общее решение ур-я (1) содержит n произвольных постоянных т.е. число произвольных постоянных должно отчно совпадать с порядком интегрирования.