БИЛЕТ №1

Теорема Больцано-Вейрштрасса.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т.е.

Разобьем отрезок Δ = [a,b] пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков [a,d],[d,b] содержит бесконечное число членов последовательности {x_n}. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим Δ₁ = [a₁,b₁], его длина равна

.

Разделив отрезок Δ₁ пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок Δ₂ = [a₂,b₂], содержащий бесконечное число членов последовательности {x_n}. Продолжая эти рассуждения, получим последовательность {Δ_n = [a_n,b_n]} отрезков таких что:

при

Следовательно, {Δ_n} - стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, т.е.

,

Покажем, что найдется подпоследовательность последовательности{x_n} такая, что

.

Так как отрезок Δ₁ содержит бесконечное число членов последовательности {x_n}, то

.

Отрезок Δ₂ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому

.

Вообще,

, где .

Следовательно, существует подпоследовательность последовательность {x_n} такая, что

Условия (2) и (4) означают, что точки c и принадлежит отрезку Δ_k = [a_k,b_k], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка Δ_k, т.е.

.

Так как - бесконечно малая последовательность, следует утверждение теоремы.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной .

Необходимость. Пусть последовательность {x_n} имеет конечный предел a. По определению предела

Пологая в (1) сначала p = n, а затем p = m и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем

Следовательно для любого и для любого выполняется неравенство , т.е последовательность является фундаментальной.

Достаточность. Пусть {x_n} - фундоментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундоментальной последовательности

Так как фундометальная последовательность {x_n} является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть её предел равен a, т.е.

Покажем, что число a является пределом исходной последовательности {x_n}. По определению предела (3)

Пусть . Фиксируем в (4) номер . Тогда при m = n_k и при всех в силу (2) выполнется неравенство

.

Из (4) и (5) следует, что при всех справедливо неравенство

,

т.е.

Билет №2 Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает своих верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть

.

По определению верхней грани

Следовательно, при . Последовательность {x_n} ограничена, так как . По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим из неё сходящуюся подпоследовательность , при . Переход к пределу в неравенстве , получаем, что . В силу непрерывности функции f в точке x₀ имеем

при .

С другой стороны, - подпоследовательность сходящейся к B последовательности. Поэтому при . Из последних двух соотношений получаем, что

.

Отсюда следует, во-первых, что , т.е. что функция f ограничена сверху, и, во-вторых, что функция достигает своей верхней грани в точке x₀.

Аналогично можно доказать, что функция f ограничена снизу и достигает своей нижней грани. Теорема доказана.

Билет №3 Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = A, f(b) = B. Пусть C находится между A и B.Тогда

Доказательство.

Пусть, для определенности, . Поделим отрезок [a,b] пополам и через [a₁,b₁] обозначим такую его половину, для которой . Поделим отрезок пополам и через [a₂,b₂] обозначим такую его половину, для которой . Продолжая процесс, получим стягивающуюся систему вложенных отрезков {[a_n,b_n]}, для которых

.

Пусть . Тогда при , и (в силу непрерывности функции f в точке ξ)

при .

Переходя к пределу в последнем неравенстве, получаем

,

что и требовалось доказать.

Билет №4 Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Теорема Ролля.

Пусть функция f:

1. непрерывна на [a,b];

2. дифференцируема на (a,b);

3. f(a) = f(b).

Тогда .

Доказательство. Случай тривиален. Будем считать далее, что . По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка [a,b] функция f принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере, одна из этих точек лежит на интервале (a,b), так как min_[a,b]f < max_[a,b]f. Тогда по теореме Ферма производная f' в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка ξ, такая что

Доказательство.

Рассмотрим функцию

где число λ выберем таким, чтобы выполнялось условие , т.е. f(a) + λa = f(b) + λb. Отсюда находим

Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка такая, что . Отсюда в силу условия (2) получаем равенство

равносильное равенству (1).

Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) непревны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка такая, что

.

Доказательство.

Рассмотрим функцию

где число λ выберем таким, чтобы выполнялось равенство , которое равносильно следующему:

Заметим, что , так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка такая что g'(c) = 0 вопреки условиям теоремы.

Итак, и из равенства (1) следует, что

Так как функция при любом λ непреына на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значение λ определяемом формулой (2), принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка такая, что , откуда . Из этого равенства следует утверждение теоремы.

БИЛЕТ №5

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа.

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть . Тогда в некоторой окрестности U(x₀) можно написать равенство

,

которое называется формулой Тейлора функции f в точке x₀, где P_n(f,x) называется многочленом Тейлора, а r_n(f,x) - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).

Если существует

,

то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции f(x) в точке x.

Лемма

Пусть в . Тогда в

Доказательство:

Теорема. Формула с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть x > x₀(x < x₀), непрерывна на отрезке [x₀,x]([x,x₀]), на интервале (x₀,x)((x,x₀)). Тогда справедлива формула (1), в которой

где 0 < θ < 1.

Доказательство: будем проводить по индукции, считая x > x₀. При n = 0 теорема утверждает, что при некотором

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности x > x₀)

где x₀ < η < ξ < x,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.