Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Взаимный базис

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

114.96 Кб

Скачать

☆

Взаимный базис

1. Доказать, что для произвольных векторов ~a, b, ~c выполняется тождество

(1)

([b; ~c]; [~c; ~a]; [~a; b]) = (~a;

b; ~c)

Решение. Обозначим левую часть доказываемого тождества через L. По определению

смешанного произведения L = ([[b; ~c]; [~c; ~a]]; [~a; b]). Тогда по формуле двойного векторного

произведения

L = (~c([b; ~c]; ~a) ~a([b; ~c]; ~c); [~a; b]):

По свойствам скалярного и смешанного произведений

L = (~c(b; ~c; ~a) b(b; ~c; ~c); [~a; b]) = (b; ~c; ~a)(~c; [~a; b]) = (b; ~c; ~a)(~a; b; ~c) = (~a; b; ~c)

Пусть ~e1, ~e2, ~e3 тройка векторов. Рассмотрим такие векторы ~e1, ~e2, ~e3, что (~ei;

~ej) = ij,

где

– символ

Кронекера: ij

= 1; если i = j и ij = 0; если i = j:

, ~e

через векторы ~e1, ~e2

, ~e3

2. Выразить векторы ~e

и наоборот, выразить векторы ~e1,

~e2, ~e3 через векторы ~e1, ~e2, ~e3.

Решение. Пусть векторы ~e1; ~e2; ~e3 компланарны. Тогда, например, ~e3 = ~e1 + ~e2 и 1 =

(~e3;~e3) = (~e1; ~e3) + (~e2; ~e3) = 0: Противоречие. Значит, векторы ~e1; ~e2; ~e3 не компланарны.

Аналогично векторы ~e1; ~e2; ~e3

не компланарны. Из условий (~e1; ~e2) = (~e1;

~e3) = 0 вытекает,

что ~e1 можно записать в виде ~e1 = [~e2; ~e3]. Коэффициент находится из условия (~e1; ~e1) = 1 однозначно: = (~e1; ~e2; ~e3) 1. Аналогично находятся векторы ~e2 и ~e3 и обратно. Итак,

~e1 =

[~e2; ~e3]

;

~e2 =

[~e3; ~e1]

;

~e3 =

[~e1; ~e2]

;

(2)

(~e1; ~e2; ~e3)

~e1

[~e2; ~e3]

;

~e2

[~e3; ~e1]

;

~e3

[~e1; ~e2]

(2 b)

(~e1; ~e2; ~e3)

3. Доказать, что векторы ~e1, ~e2, ~e3, если их определить равенствами (2), некомпланарны. Решение. Достаточно показать, что смешанное произведение векторов ~e1, ~e2, ~e3 отлично

от 0. По формуле (2) и линейности смешанного произведения по всем аргументам имеем

(~e1; ~e2; ~e3) = (~e1; ~e2; ~e3) 3([~e2; ~e3]; [~e3; ~e1]; [~e1; ~e2]):

Откуда по (1) получаем, что

(~e1; ~e2; ~e3) =	1	:	(3)


(~e1	; ~e2; ~e3)

Определение. Базис e =< ~e1; ~e2; ~e3 > называется взаимным с базисом e =< ~e1; ~e2; ~e3 >

или биортогональным к базису e =< ~e1; ~e2; ~e3 >.

Замечание. 1) Из задач 2 и 3 и определения взаимного базиса вытекает, что взаимный базис определен однозначно.

2)Если исходный базис положителен, то взаимный с ним базис также положителен. Если исходный базис отрицателен, то взаимный с ним базис тоже отрицателен.

3)Если базис e является взаимным к исходному базису e, то взаимный базис к e совпадает с исходным базисом e, т.е. базис, взаимный к взаимному базису есть исходный базис.

4)Если исходный базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с исходным базисом.

5)Если исходный базис совпадает со взаимным, то исходный базис ортонормированный. Вопрос: Какова размерность векторов взаимного базиса e, если векторы базиса e измеря-

ются в сантиметрах?

4. Доказать, что для любого вектора ~a выполнено:

~a = (a; ~e1)~e1 + (a; ~e2)~e2 + (a; ~e3)~e3;

(4)

~a = (a; ~e1)~e1 + (a; ~e2)~e2 + (a; ~e3)~e3:

(5)

Решение. Чтобы доказать (4), умножим равенство ~a = ~e1 + ~e2 + ~e3 скалярно сначала на ~e1, затем на ~e2 и на ~e3. Мы получим = (a; ~e1), = (a; ~e2), = (a; ~e3). Равенство (5) вытекает из (4) и того, что базисы e и e взаимны друг другу.

Замечание. Числа ; ; называются контравариантными координатами вектора ~a в базисе < ~e1; ~e2;~e3 >, а числа (~a; ~e1); (~a; ~e2); (~a; ~e3) называются ковариантными координатами вектора ~a в базисе < ~e1; ~e2; ~e3 >. Таким образом равенства (4) и (5) означает, что ковариантные координаты вектора есть его контравариантные координаты во взаимном базисе и наоборот, контравариантные координаты вектора есть его ковариантные координаты во взаимном базисе. Эти равенства также доказывают, что ковариантные координаты вектора действительно координаты: они взаимно-однозначно соответствуют вектору, складываются при сложении векторов и умножаются на число при умножении вектора на это число.

~	~
Следствие. Если векторы ~a, b, ~c некомпланарны, то любой вектор d единственным образом
представим в виде
~	~

d = x~a + yb + z~c:

В координатной форме (относительно некоторого базиса) это равенство запишется в виде системы линейных уравнений Ax = d с основной невырожденной матрицей A, столбцами кото-

рой являются координатные столбцы , ~, и столбцом свободных членов координатным

~a b ~c d

столбцом вектора d. Из формулы (4) и представления (2) векторов взаимной тройки вытекает,

что решение системы Ax = d может быть найдено по формуле (формула Крамера)

~ ~

x =

(d; b; ~c)

;

y =

(~a; d; ~c)

;

z =

(~a; b; d)

(~a; b; ~c)

(~a;

b; ~c)

(~x; ~a)

(~x;

(~x; ~c)

5. Доказать, что (~a; ~b; ~c)(~x; ~y; ~z) =

(~z; ~a)

(~z;

~b)

(~z; ~c)

(~y; ~a)

(~y;

~b)

(~y; ~c)

Решение. Если (~a; b; ~c) = 0, то тождество

очевидно: левая

часть равна 0 и правая часть

равна 0, т.к. у определителя один из столбцов является линейной комбинацией остальных.

~
Пусть теперь (~a; b; ~c) 6= 0. Рассмотрим выражение
R = (~y; ~a)				(~y; ~b)	(~y; ~c) (~a; ~b; ~c) 1:
		(~x; ~a)		~	(~x; ~c)
				(~x; b)
(~z; ~a)				(~z; ~b)	(~z; ~c)



По формуле (3) R можно переписать			в виде
R = (~y; ~a)				(~y; ~b)	(~y; ~c) (~a ; ~b ; ~c );
	(~x; ~a)			~	(~x; ~c)
				(~x; b)
(~z; ~a)				(~z; ~b)	(~z; ~c)

где ~ взаимная тройка с ~ . По (5) в определителе из по строкам стоят коор-

~a ; b ; ~c ~a; b; ~c R

динаты векторов ~x; ~y; ~z в базисе < ~a ; b ; ~c >. То есть R представляет собой координатную

запись смешанного произведения (~x; ~y; ~z) в базисе < ~a ; b ; ~c >, что доказывает тождество.

Следствие. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ~a; b; ~c


V = u		(~a; ~a)	~	(~a; ~c)
		(~a; ~a)	(~a; b)	(~a; ~c)	:	(6)
		(~b; ~a)	(~b; ~b)	(~b; ~c)	:	(6)
	u	(~c; ~a)	~	(~c; ~c)
		(~c; ~a)	(~c; b)	(~c; ~c)
	u
	u
	t
~						~

6. Решить систему: (~x;~a) = p; (~x; b) = q; (~x;~c) = r; если (~a; b;~c) 6= 0:

Решение. Согласно (5) имеем:
		~		~
		x =	p[b;~c] + q[~c;~a] + r[~a; b]		:
		~
			(~a; b;~c)
~	~	~		~
7. Пусть ~a = [b;~c];	b = [~c;~a];	~c = [~a; b]: Найти ~a;		b; ~c:
		~		~		2			~
Решение. Из задачи (1) вытекает, что (~a; b;~c) = (~a; b;~c)							: Тогда если (~a; b;~c) = 1; то вза-
~								~	> ортонормирован-
имный к < ~a; b;~c > базис совпадает с исходным. Значит базис < ~a; b;~c									> ортонормирован-
						~
ный. Кроме того, он положительный (правый). Если же (~a; b;~c) = 0; то все векторы нулевые:
				~					~
так как векторы компланарны, то, например, ~a = b + ~c: Тогда (~a;~a) = (~a; b) + (~a;~c) =
~				~			~	~	~
(~a;~c;~a) + (~a;~a; b) = 0: Значит j~aj = 0; значит ~a = 0: Аналогично b = 0 и ~c = 0:

Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат

Определение. Метрическими коэффициентами базиса e =< ~e1; ~e2; ~e3 > называются следующие скалярные произведения:

gij = (ei; ej):

Матрицу G = (gij), составленную из этих произведений, называют матрицей Грама. Часто еe обозначают : Отметим, что gij = gji для всех i; j: Значит = T :

; y

) заданы координатами относительно базиса e, то

Если векторы ~a(x

; x

) и b(y

их скалярное произведение вычисляется по формуле:

(~a; ~b) =

=1 j=1

gijx

= (x

; x

0y31

@y A

; y2; y3) во вза-

)

1. Найти скалярное произведение (~a; b), если ~a(x

; x

в базисе e, а b(y1

имном базисе e.

Решение. Используя билинейность скалярного произведения и определение взаимного базиса, имеем:

~	i	~ei;	yj~e	j	1	2	3	y3:
(~a; b) =	x	~ei;	yj~e		= x	y1 + x	y2 + x	y3:

2. Зная матрицу Грама G = (gij) базиса e, найти объем V параллелепипеда, построенного на векторах с координатами (x1; x2; x3), (y1; y2; y3) и (z1; z2; z3).

Решение. Из геометрического смысла смешанного произведения, заключаем, что V с точностью до знака равен

x1 x2 x3

y1 y2 y3 (~e1; ~e2; ~e3):

z1 z2 z3

Из (6) получаем, что с точностью до знака (~e1; ~e2; ~e3) = det G: Окончательно

V = pdet G det	0y1	y2	y3	1:
	x1	x2	x3
	@
	@			A
	z1	z2	z3

Замечание.

(~e1; ~e2; ~e3) =

(~e1; ~e2; ~e3)

det G

~ ~

3. Доказать формулу: ([~a; b]; [~c; d]) = (~a; ~c)(b; d)

(~a; d)(b; ~c):

Решение. ([~a; b]; [~c; d]) =

(~a; b; [~c; d])

= (b; [~c; d];~a) =

(b; [[~c;

~ ~

(b;~c(~a; d) d(~a;~c)) = (b; d(~a;~c) ~c(~a; d)) = (~a; ~c)(b; d)

(~a; d)(b; ~c):

~	~	~
d];~a])	= (b; [~a; [~c; d]]) =

4. Выразить координаты векторного произведения ~ через координаты сомножителей

[~a; b]

1 2 3 и ~ 1 2 3 и метрические коэффициенты базиса, считая базис положительным

~a( ; ; ) b( ; ; )

(правым).

Решение. Мы имеем:

[~a;~b] =

(e~1; e~2; e~3) = (~a; e~1) (~a; e~2)

(~a; e~3)

(~e1; ~e2;~e3) =

~e1

~e2

~e3

(b; e~1) (b; e~2) (b; e~3)

~e1

~e2

~e3

(~a; e~1)

(~a; e~2)

(~a; e~3)

pdet G

(b; e~1)

(b; e~2)

(b; e~3)

Отсюда, подставляя вместо и ~ базисные векторы, можно, в частности, найти

~a b

[~e1; ~e2] =	1	g11			g12		g13 ;
	pdet G		~e1		~e2		~e3
	pdet G	g			g		g


				21		22		23

[~e2; ~e3] =	1	g21			g22		g23 ;
	pdet G		~e1		~e2		~e3
	pdet G	g			g		g


				31		32		33


[~e1; ~e3] =		~e1	~e2	~e3	:
[~e1; ~e3] =	pdet G g11		g12	g13	:
	1	g	g	g

		31	32	33

Решение вторым способом. В силу билинейности векторного произведения, достаточно выразить через метрические коэффициенты координаты векторов [~e1; ~e2], [~e2; ~e3] и [~e1; ~e3].

Пусть [~e1; ~e2] = 1~e1 + 2~e3 + 1~e3: Найдем первую координату 1. По формуле (4) и выражению (2) векторов взаимного базиса через векторы ~e1; ~e2; ~e3, имеем:

1 = ([~e1; ~e2]; ~e1) = (~e1; ~e2; ~e3) 1([~e1; ~e2]; [~e2; ~e3]):

Теперь воспользуемся формулой

~ ~ ~ ~ ~ ~ ([~a; b]; [~c; d]) = (~a; ~c)(b; d) (~a; d)(b; ~c);

откуда получаем выражение для 1:

(~e1; ~e2) (~e1; ~e3)

1 =

(~e1

; ~e2; ~e3)

= pdet G

g22

g23

(~e2

; ~e2) (~e2; ~e3)

g12

g13

Аналогично находятся координаты 2 и 3:

;

= pdet G

g21

g23

3 = pdet G g21

g22

g11

g13

g11

g12

Итак,

g11

g12

[~e1; ~e2] =

g13

pdet G

~e1

~e2

~e3

Аналогично находим, что

[~e2; ~e3] =	1	g21			g22		g23 ;
	pdet G		~e1		~e2		~e3
	pdet G	g			g		g


				31		32		33


[~e1; ~e3] =		~e1	~e2	~e3	:
[~e1; ~e3] =	pdet G g11		g12	g13	:
	1	g	g	g

		31	32	33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.09.2019890.02 Кб20БИЛЕТЫ К ГОСУ(МАТЕМАТИКА).docx
#
03.06.20155.78 Mб14Бомбы 2006 by @rav.pdf
#
29.08.2019250.37 Кб1БП вопросы.doc
#
04.09.2019224.26 Кб6Введение в количественную биологию (часть 2).doc
#
27.03.20168.13 Mб376Введение в нанооптику.docx.doc
#
03.06.2015114.96 Кб39Взаимный базис.pdf
#
18.11.20193.17 Mб28Влажный воздух. Справочное пособие Abok. Тараба...doc
#
03.06.20153 Mб25Вопросы по линалу от Петровой.DOC
#
03.06.201517.08 Mб53Воробьев_монография.pdf
#
03.06.20151.22 Mб71все.docx
#
03.06.2015798.43 Кб31Выезд 52.pdf