Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Выезд 52

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

798.43 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Условия задач по математике


М1. Решить неравенство	log9		x 4	4 logx	3 1.
М1. Решить неравенство	log9		x 1	4 logx	3 1.
	log9		x 1
						x .
М2. Решить неравенство		log5 31 6 52x2				x .

М3. Решить уравнение 2cos x sin x ctg xsin x ,

x
x	2 , 2 .
	2 , 2 .

						cos 2x 2 tg				4	y 4
						cos 2x 2 tg					y 4
М4. Решить систему уравнений							sin x	1				3 ,
М4. Решить систему уравнений							sin x		2			3 ,
								cos	2		y
								cos			y
x	0,		, y		,
x	0,	2	, y	2	,

М5. В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найти площадь этого треугольника.

М6. На плоскости лежат три равных шара радиуса R , попарно касающиеся друг друга. Четвертый шар касается плоскости и каждого из первых трех шаров. Найти радиус четвертого шара.

Условия задач по физике

Ф1. Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту составляет 30 . Какую работу совершила сила тяги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с

ускорением 0, 2 м / сек2 ? Коэффициент трения принять равным 0,1; g 10 м / сек2 .

2	y						c
2	y					Fbc
				A		Fbc
	T cos			A
2	T cos			V1	b	Fac		d
2	N sin		T	V1	b	I2	Fad	d
	N sin		T

		N	II	0 I		I1	a	I1
l		N				I1	a	I1
l	N
	N	P
		P
Рис. Ф2.			Рис. Ф3.			Рис. Ф5.

Ф2. Два идеально гладких стержня радиуса R подвешены на нитях, образующих между собой угол 2 (рис. Ф2). На стержни положили

цилиндр радиуса R и массы 2M так, что вся система находится в равновесии. Определить расстояние между центрами стержней, если

масса каждого из них равна M .

Ф3. На гладком горизонтальном столе лежит шар массы M , прикрепленный к пружине с коэффициентом упругости k (рис. Ф3). В шар попадает пуля массы m , имеющая в момент удара скорость

v0 , направленную вдоль оси пружины. Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду A и период T колебаний шара.


Ф4. В закрытом латунном калориметре массы 200 г	находится 1 кг
льда при температуре 10 C . В калориметр впускают 200 г пара,
имеющего температуру 110 C . Какая температура	установится в

калориметре? Удельную теплоемкость паров воды в интервале от

100 C до	110 C	считать равной	0, 4 кал / г град . Удельная
теплоемкость	воды	равна 1, 0 ккал / кг К ,	льда - 0,5 ккал / кг К ,

латуни - 0, 09 ккал / кг К

Ф5. Контур, представляющий собой квадрат с диагональю, изготовлен из медной проволоки сечением 1 мм2 и подключен к источнику постоянного напряжения 110 в , как указано на рисунке Ф5. Плоскость квадрата расположена параллельно магнитному полю с индукцией 17 гс . Определить величину и направление силы, действующей со стороны поля на контур.

Ф6. Светящаяся точка, находящаяся в среде с показателем преломления n1 рассматривается невооруженным глазом из среды с показателем преломления n2 . Каково будет кажущееся расстояние точки до границы раздела сред, если точка находится от этой границы

на расстоянии h0 , а глаз расположен так, что в него попадают лучи, падающие на границу раздела под небольшими углами?

РЕШЕНИЯ

МАТЕМАТИКА

М1. log9 x 4 4 logx 3 1. log9 x 1

Ответ: x (	1	,	1	) (1, 3].
Ответ: x (		,		) (1, 3].
	81 9
Решение:

ОДЗ 0 x, x						1	,	x	1
ОДЗ 0 x, x							,	x	1
					9
	log9 x 4	2 logx		9	1,			log9	x 4			2			1			,
	log9 x 1	2 logx		9	1,			log9 x 1				log9 x			1			,
	log9 x 1							log9 x 1				log9 x
обозначим logx 9 t,								получим					t 4				2		1	0		,	t2 4t 2t 2 t2			t	0 ,	2t2	3t 2		0,
обозначим logx 9 t,								получим											1	0		,			t(t 1)		0 ,	t(t			0,
													t 1 t												t(t 1)			t(t		1)
	(2t 1)(t 2)		0 , t		(			2,		1	)	[0,		1		] ,			x	(		1	,	1	) (1, 3].
			0 , t		(			2,			)	[0,				] ,			x	(			,		) (1, 3].
	t(t 1)								2			2									81 9

М2. log5 31 6 52 x2 x .

Ответ: x , 1 log5 6, 2 .

Решение:

ОДЗ: 31

2 x

2 x2

5 , 2

1, x

| x |

6 5

, т.е. 5

1) все отрицательные x

на ОДЗ являются решениями,

1 –– решения

задачи.

1 получим log5 31 6 52 x2

x2 , log5 31 6 52 x2 log5 5x2 , т.к.

2) при x

5 1, то

31 6 52 x2

5x2 , 52x2

31 5x2 150 0 , (5x2 25)(5x2

6) 0 , откуда и следует ответ.

М3. 2cos x sin x ctg x

sin x , x

Ответ: .

Решение:

ОДЗ: sin х 4; cos x 0;

2cos x sin x 0; tg 2 ;

sin х 0.

Исходное уравнение равносильно системе:

ctg x 0

(1)

2cos x sin x ctg2 xsin x (2)


(2)	2cos x sin x ctg2 xsin x ; cos x 0; 2 tg x ctg2 x ;																																				1			tg x 2 0;
(2)	2cos x sin x ctg2 xsin x ; cos x 0; 2 tg x ctg2 x ;																																							tg x 2 0;
																																					tg x
tg2 x 2tg x 1 0; tg x 1 2																									0;		tg x 1; x									n, n Z		. С учетом уравнения
(1), ОДЗ и промежутка: x .																																	4
(1), ОДЗ и промежутка: x .
																								4
			cos 2x 2 tg4											y 4
М4.				sin x						1						3		,		x					0,			, y			,
М4.										1								,		x					0,	2		, y		2	,

									cos			2	y
									cos				y

											arctg									3
Ответ:							;															.
Ответ:					6		;													2		.
					6															2
Решение:
			2sin		2	x 2tg								4	y 4												2	x 2tg	4	y 5
1			2sin			x 2tg									y 4									2sin				x 2tg		y 5

sin x 1 tg2 y 3																								sin x tg2 y 2

Пусть sin x a,													a			1;			tg2 y b,							b 0. Система примет вид:
Пусть sin x a,													a			1;			tg2 y b,							b 0. Система примет вид:
		2			2												2						2
			2b 5															2b 5 .
2a			2b 5											2a				2b 5 .
a b 2														b 2 a
2a2 2 2 a 2 5; 2a2 8 8a 2a2 5; 4a2 8a 3 0.
			3																					1
			3
a				(не подходит, т.к.																	a													1					3
a			2	(не подходит, т.к.																	a								a							; b 2 a
			2																						. Значит:																.
			1																						. Значит:								2					2			.
			1																														2					2
a
a			2
			2
С учетом промежутка: x
																									0,52 ; tg2 y							3			;	tg y	3	;
																									0,52 ; tg2 y										;	tg y		;
																								6							2						2

y arctg								3			n,						n Z					. С учетом промежутка: y arctg																				3	.
y arctg							2				n,						n Z					. С учетом промежутка: y arctg																				2	.
							2																																			2

Ответ: S a b .

Решение:

(a b)2 (a r)2 (b r)2 ,т.е. ab r2 (a b)r S .

Ответ: r R / 3 .

Решение:

(R r)2 (R r)2 4R2 / 3 .

P sin

P cos

ФИЗИКА

	N			T
	N	T		N1
				N1

Fmp				T
Fmp		P2cos	P1
		P2cos	P1
	P2
				T
				P1

Ответ: A m a g sin fg cos s 900 кдж

Решение:

а) По условию задачи необходимо вычислить работу постоянной силы тяги FT . Эта работа определяется формулой

A FT s cos .

(1)

б) Делаем чертеж (рис. Ф1) и расставляем силы, действующие на вагонетку: силу тяги FT , силу тяжести P , силу трения Fтр и реакцию опоры N .

По условию задачи сила тяги направлена вдоль перемещения, поэтому угол между FT и перемещением равен нулю и, следовательно, cos 1. (Этот угол не следует путать с углом наклона плоскости.)

Для определения силы тяги разложим силу P , как обычно, на составляющие и (направления этих составляющих указано на рис Ф1) и запишем

уравнение второго закона динамики

FT P sin Fтр ma .

Откуда с учетом того, что Fтр fN fP cos , получим:

FT m a g sin fg cos .

Подставляя значение силы тяги в уравнение (1), получим:

A m a g sin fg cos s 900 кдж .

, после чего

Ф2. Два идеально гладких стержня радиуса R подвешены на нитях, образующих между собой угол 2 (рис. Ф2). На стержни положили цилиндр радиуса R и массы 2M так, что вся система находится в равновесии. Определить расстояние между центрами стержней, если масса каждого из них равна M .

2	y	T		y
		T		y
	T cos		N	N
2			N	N
	N sin	T sin
	N sin
l		N cos x		x
l	N
	N	P		2P
		P

Ответ: l	4R tg
Ответ: l	1 4 tg2 .

Решение:

В данной задаче рассматривается равновесие тел (заданы размеры стержней и цилиндра), однако при решении задачи можно ограничиться только составлением уравнений равновесия в проекциях, поскольку идеально гладкие тела при своем взаимодействии вращаться не могут.

Из уравнений равновесия нам нужно будет определить угол можно легко найти расстояние между осями стержней, о котором спрашивается в задаче. Как видно из чертежа, это расстояние равно:

l 2R sin .

(1)

Так как стержни находятся в одинаковых условиях, для составления полной системы уравнений равновесия нужно рассмотреть только один из этих стержней и цилиндр. На левый стержень действуют: сила земного притяжения P , сила натяжения нити T (она направлена вдоль радиуса стержня к точке подвеса) и сила нормального давления цилиндра N . Учитывая, что стержень абсолютно твердый, действующие на него силы можно перенести вдоль линий их действия в течку O , равновесие стержня от этого не нарушится. Точку O мы примем за начало координат и, взяв оси разложения по горизонтали и вертикали, разложим по ним действующие силы. Нам нужно будет разложить

силы T и N на составляющие T sin , T cos , N sin		и N cos . Поскольку
стержень не перемещался, для оси Ox должно быть:
	T sin N sin 0 ;	(2)
для оси Oy :


T cos N cos P 0 .	(3)

На цилиндр действуют вдоль радиусов две одинаковые реакции опоры N , равные силам нормального давления на стержни, и сила тяжести 2P . Для составления уравнения равновесия мы, как и в первом случае, перенесем силы N вдоль линий их действия до пересечения с линией действия силы 2P . Силы N удобно предварительно сложить по правилу параллелограмма, поскольку длины у них одинаковые и в сумме должны быть направлены вверх (иначе они не уравновесят силу тяжести). Равнодействующая этих сил равна, как видно из

чертежа, 2N cos и, следовательно, для равновесия	цилиндра необходимо,
чтобы
2N cos 2P 0.	(4)

Исключая из уравнений равновесия силы, получим:

tg 2 tg .

После этого находим расстояние между центрами стержней:

l	4R tg
		.

	1 4 tg2

Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду и период колебаний шара.

	A
	V1
II	0 I
	mvo	m M			m M
Ответ: A m M		k	,	T 2	k	.

Решение:

а) В момент соударения пуля сообщит шару кинетическую энергию, вследствие чего он придет в движение и начнет сжимать пружину. Пружина будет сжиматься до тех пор, пока энергия движения полностью не перейдет в потенциальную энергию деформации. В этот момент кинетическая энергия шара станет равной нулю, потенциальная энергия пружины, а вместе с нею и шара достигнет максимума, смещение шара от положения равновесия станет равно амплитудному значению. Дальше процесс пойдет в обратном порядке:

форма пружины будет восстанавливаться, потенциальная энергия шара станет уменьшаться, кинетическая возрастать и в положении равновесия (точке O ) первая станет равной нулю, вторая достигнет максимума. Скорость шара будет направлена при этом вправо, и он начнет колебаться. Так как поверхность стола идеально гладкая и сопротивление воздуха ничтожно мало, кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную, возвращающая сила всюду будет пропорциональна смещению, а колебания шара – гармоническими.

б) Чтобы определить амплитуду этих колебаний, нужно воспользоваться законом сохранения энергии. Если в первом положении (в момент начала движения) шар вместе с пулей обладал энергией

E	m M			v2
E				1 ,
1			2
			2
во втором –
E		kA2		,
E				,
	2		2
			2
то E2 E1 0 , или
	kA2		m M v12
				0 ,	(1)
				0 ,	(1)
	2			2

поскольку внешние силы (реакция опоры и сила трения) над системой шар – пружина работу не совершают. Начальная скорость шара v1 определяется из уравнения закона сохранения количества движения. Пренебрегая, как всегда, смещением шара во время удара и учитывая, что пуля застревает в шаре, получим:

mv0 m M v1 .

(2)

Величина возвращающей силы, действующей на шар, определяется уравнением

F m M 2 x ,			(3)
где – угловая частота, равная
	2	.	(4)

	T

Эту же силу можно определить из формулы

F kx , (5)

где k – коэффициент упругости пружины. Соотношения (1) – (5) полностью отражают явление, рассматриваемое в задаче, и служат исходной системой уравнений для нахождения неизвестных.

Решая уравнения (1) и (2), получаем:


	A	mvo		m M		, .
	A	m M		k		, .
Из формул (3) – (5) находим:

	T 2		m M		.
	T 2				.
				k

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015114.96 Кб39Взаимный базис.pdf
#
18.11.20193.17 Mб28Влажный воздух. Справочное пособие Abok. Тараба...doc
#
03.06.20153 Mб25Вопросы по линалу от Петровой.DOC
#
03.06.201517.08 Mб53Воробьев_монография.pdf
#
03.06.20151.22 Mб71все.docx
#
03.06.2015798.43 Кб31Выезд 52.pdf
#
19.11.2019112.19 Кб4высказывание русских царей.docx
#
27.03.2016429.54 Кб14Вычматы погрешности схема 1.pdf
#
03.06.201521.45 Mб71Вэриан.pdf
#
03.06.20158.61 Mб23Геометрические методы в математической физике.pdf
#
03.06.20151.27 Mб6Глава 05 - Выбор.pdf