43. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Электрические цепи, содержащие энергоемкие элементы (L и C – индуктивность и емкость). При подключении таких цепей к источнику или отключении их от источника они не могут мгновенно запастись энергией или мгновенно израсходовать ее, поэтому в таких цепях возникают переходные процессы.

Время начала переходного процесса – (t = 0).

Различают токи и напряжения непосредственно перед коммутацией t(-0), i(-0), U(-0), и после коммутации t(+0), i(+0), U(+0). i(0), U(0) то же самое, что и i(+0), U(+0). Переходные процессы длятся доли секунд.

44. Законы коммутации. Начальные условия. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений. Законы коммутации. Первый закон: ток в индуктивности непосредственно после коммутации остается таким же, каким он был перед коммутацией (ток в индуктивности скачком измениться не может):

Если бы ток в индуктивности мог измениться скачком, т.е. измениться на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени то это бы соответствовало тому, что , что невозможно. Второй закон: напряжение на емкости непосредственно после коммутации остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией (напряжение на емкости скачком измениться не может):

Если бы напряжение на емкости могло измениться скачком, т.е. измениться на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, то это соответствовало тому, что ток в емкости был бы равен: , что невозможно Скачком могут изменяться токи в емкостях и резисторах, а напряжения – на индуктивностях и резисторах. Начальные условия.

Различают зависимые и независимые, нулевые и ненулевые начальные условия. Независимые начальные условия – это токи в индуктивностях и напряжения на емкостях . Эти величины определяются с помощью законов коммутации.

Зависимые начальные условия – это все остальные токи и напряжения (определяются с помощью законов коммутации и законов Кирхгофа). Нулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и напряжения во всех элементах цепи до коммутации были равны нулю.

Ненулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и (или) напряжения некоторых элементов до коммутации не были равны нулю.

Порядок дифференциального уравнения, описывающего физические процессы в электрической цепи, определяется числом разнородных реактивных элементов (индуктивностей и емкостей). Решение этого дифференциального уравнения запишется в следующем виде:

Здесь - частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения или установившаяся составляющая, возникающая в цепи под действием источника. Установившаяся составляющая наблюдается и во время переходного процесса, и после его окончания.

- общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения или свободная составляющая тока, возникающая без воздействия источника питания. Эта составляющая определяется параметрами электрической цепи и начальными условиями. Свободная составляющая наблюдается только во время переходного процесса. Решение однородного линейного дифференциального уравнения или, иначе свободная составляющая в токах, возникающих без воздействия источника питания. Эта составляющая определяется параметрами электрической цепи и начальными условиями. Свободная составляющая наблюдается в цепи только во время переходного процесса.

45. Характер свободной составляющей в цепи 1-го порядка. Физические (величины ?) в электрической цепи первого порядка (с одним реактивным элементом) описываются дифференциальным уравнением первого порядка. Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному, также будет первого порядка. И свободная составляющая i_СВ будет представлять собой экспоненту:

А – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. р – корень характеристического уравнения (всегда отрицателен). [p] = c^-1 .

- постоянная времени (численно равна времени, за которое свободная составляющая уменьшается в “e” раз).

46. Характер свободной составляющей в цепи 2-го порядка.

Характер свободной составляющей в цепи второго порядка.

1) ; - функция имеет апериодический характер.

2) ;

,

где - корни комплексно сопряженные.

Свободная составляющая будет носить колебательный характер.

3) Дискриминант равен нулю и корни будут действительные равные (предельный случай апериодического режима).

47. Последовательность расчета переходных процессов классическим методом. 1) Записываем искомое решение в виде установившейся и свободной составляющей. Для цепи первого порядка решение имеет вид:

2) Находим (установившуюся составляющую) для послекоммутационной схемы.

3) Найдем корень характеристического уравнения. Составляем характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы, и, решая его, находим корни характеристического уравнения. Характеристическое уравнение может быть получено двумя способами:

а) Из комплексного входного сопротивления, записанного для послекоммутационной схемы, где “ ”заменяется на “ ”, причем входное сопротивление приравнивается к нулю

б) Из дифференциального уравнения, составленного по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы.

Поскольку входное сопротивление записывается для свободной составляющей, то можно считать, что источник находится в ветви с любым реактивным элементом и удобнее записывать комплексные входные сопротивления для этого случая. 4) Определяем i в момент времени t=0 (зависимые и независимые начальные условия, и, если необходимо, их производные).

5) Определяем постоянные интегрирования:

6) Подставляем все величины, найденные в пп. 2 – 6 в исходное уравнение.

48. Основные понятия операторного метода расчета переходных процессов..

Функция называется оригиналом.

Функция называется изображением. Метод расчета, основанный на замене оригиналов их изображениями, называется операторным. Это позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Переход от оригиналов к изображениям осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:

, где - комплексный оператор.

Переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

Найдем изображения некоторых простейших функций

1) , тогда:

2) , тогда:

3) тогда:

4) Пусть . Тогда:

49 Основные законы и формулы операторного метода, расчет переходных процессов.

1) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.

2) Умножению оригинала на постоянное число соответствует умножение изображения на то же число:

3) Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на “p” – значение функции в момент времени “t=0”.

4) Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор “p”:

Найдем напряжение на индуктивности:

Найдем ток и напряжение в емкости:

Напряжение на емкости:

- напряжение на емкости при нулевых начальных условиях.

При ненулевых начальных условиях:

50 Основные законы электрических цепей в операторной форме записи.

Перейдем от оригиналов к изображениям:

Изображение тока равно:

(1)

Здесь - операторное сопротивление цепи. Оно может быть получено из комплексного сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это соответствует переходу от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа:

- закон Ома при нулевых начальных условиях. Уравнению (1) соответствует следующая схема замещения:

В этой операторной схеме замещения ненулевые начальные условия учитываются введением дополнительных внутренних источников ЭДС, причем источник направлен по направлению протекающего тока, а источник , учитывающий напряжение на емкости, направляется навстречу протекающему току. Первый закон Кирхгофа в операторной форме выглядит следующим образом:

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета операторных схем замещения применяются все известные методы, основанные на законах Кирхгофа.

51. Переход от изображений к оригиналам. Формула разложения. Переход от изображений к оригиналам осуществляется двумя способами: