25. Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения.

Пусть X₁, X₂…X_l – l генеральных совокупностей, из которых взяты случайные независимые выборки объемом n₁=n₂=…=n_l и пусть n_i элементов i-й выборки классифицируются по какому-либо признаку на h групп с числом элементов в каждой группе m_i1, m_i2,…m_ij, m_ih, где j=1,2…h

для всех - общее число набл по всем выборкам

Н₀: для всех j=1,2,…h т.е. вероятность попадания элемента в соответствующую группу равна для всех совокупностей

Н₁ :

В основу критерия положена статистика:

Где для всех j=1,2…h

При справедливости нулевой гипотезы Н₀ статистика имеет распределение с степенями свободы. Для проверки нул. гипотезы на уровне значимости строят правостороннюю критическую область, границы к-рой опред-ся из условия:

=> отвергается с вероятностью ошибки

=> гипотеза не противоречит опытным данным

27.Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.

Дисперсионный анализ – статистический метод оценки наличия зависимости результативного признака У от одного или нескольких факторов и их взаимосвязей. Он сводится к разложению общей вариации У на составляющие, обуславливающие влияние этих факторов и их взаимосвязей. Дисперсионный анализ изучает качественное влияние факторов на количественную вариацию результативного признака.

Исследуется зависимость результативного признака у от фактора А, который имеет m-уравнений A1, A2…Am. Рассматриваем m-независимых, нормально распределенных случайных величин с одинаковой дисперсией σ².

Матрица наблюдений:

,

размер m на n, где y_ij-результат i-го наблюдения при Аj уровне фактора A. - среднее при Aj уровне. - общее среднее.

Разложим общую вариацию y на составляющие:

, где последняя составляющая равна 0.

, то есть Qобщ=Qa+Qост.

Qобщ – общая суммарная вариация У, равная сумме квадратов отклонений наблюдаемых значений.

Qа – факторная вариация У, обусловленная влиянием уровней фактора A на У.

Qост – остаточная вариация у, обусловленная влиянием а у неучтенных факторов.

Так как при этом (Qобщ) = mn-1

(Qa)=m-1

(Qост)=mn-m, то (mn-1)=(m-1)+(mn-m)

Так как (Qобщ)= (Qa)+ (Qост), то согласно теореме Кохрана, Qa и Qост независимы между собой.

Qa и Qост имеют х-распределение с

В предположении отсутствия влияния фактора A, статистика критерия

Для проверки гипотезы строят ПКО и Fкр(α,υ₁,υ₂)

Гипотеза отвергается, если ІFнІ>Fкр

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

Yij-наблюдаемое значение результативного признака, μ-генеральная средняя, aj-эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора:

1. для модели М1 (фактор имеет фиксированные уровни) aj-фиксированные величины, удовлетворяющее условию

2. для модели M2 (фактор имеет случайнее уровни) a_j – случайные величины, удовлетворяющие: M(a_j)=0,

M(a_j1a_j2)=0 для a_j1 не равного a_j2,

M(a_jε_ij)=0

Ma_j²=σ² – факторная дисперсия

ε_ij-случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов,

M(ε_ij)=0

M(ε_i1j1ε_i2j2)=0 для i1 не равного i2, j1 не равного j2

M(ε²)= σ²