- •Понятие генеральной совокупности и выборки. Эмпирические аналоги параметров генеральной совокупности. Два взгляда на выборку. Вероятностные свойства выборочных характеристик.
- •Выборочные моменты. Вывести формулы, устанавливающие связь между центральными и начальными выборочными моментами для
- •6. Достаточность точечной оценки. Критерий факторизации. Доказать достаточность средней арифметической , используемой в качестве оценки параметра λ пуассоновского закона распределения .
- •8. Точные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Вывести закон распределения в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности х.
- •9. Вывести закон распределения ( ) в предположении, что выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей х и у.
- •10. Доказать, что статистика имеет - распределение с (n-1) степенями свободы.
- •11. Доказать, что статистики и s2 , полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности, независимы.
- •12. Случайная величина и статистики, имеющие -распределение. Их применение при оценивании параметров и проверке гипотез.
- •13. Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.
- •14. Случайная величина и статистики, имеющие f-распределение, и их применение в математической статистике.
- •16. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.
- •19. Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной и неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия.
- •20. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей. ( это без лекций)
- •21. Проблема Беренса - Фишера. Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны и не равны.
- •22. Проверка предположения, что две выборки объемом n1 и n2 взяты из одной нормальной генеральной совокупности.
- •23. Проверка гипотез о значении дисперсии генеральной совокупности. Вычисление мощности критерия (Без вывода мощности)
- •24. Проверка гипотез об однородности дисперсий ряда генеральных совокупностей. Критерии Бартлетта и Кохрана.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае биноминального распределения.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения.
- •27.Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.
- •28.Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.
- •29. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.(нет)
- •30. Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •32. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •33. Двухфакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Особенности моделей м1, м2 и смешанных.
28.Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:
, - наблюдаемое значение результативного признака, - генеральная средняя комплекса; -эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора; При этом для модели М1 - фиксированные величины, удовлетворяющие условию .
-случайные величины (остатки), отражающие влияние на всех неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменной внутри отдельного уровня, удовлетворяющие следующим условиям:
- остаточная дисперсия.
Модель М1 – фактор А имеет фиксированные уровни.
, - не является случайной величиной.
Чтобы доказать, что та статистика, которая нам нужна, принадлежит распределению Фишера, нужно доказать, что числитель и знаменатель статистики представляют собой несмещенные оценки генеральной дисперсии.
Тогда
Примечания.
, ,
Теперь то же самое с ку остаточное.
Тогда
Примечания.
, ,
Отсюда выводим несмещенные оценки дисперсии.
При выполнении гипотезы о том, что фактор А не влияет на результативный признак, то есть , у нас в оценке факторной дисперсии , и эта оценка также становится несмещенной. Таким образом, выполняется условие несмещенности оценок, и мы можем записать статистику
При выполнении гипотезы об отсутствии влияния фактора А эта статистика принадлежит распределению Фишера-Снедекора. Если , то гипотеза Но отвергается, и мы делаем вывод, что фактор А влияет на результативный показатель.
29. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.(нет)
30. Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:
, - наблюдаемое значение результативного признака, - генеральная средняя комплекса; -эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора; При этом для модели М1 - фиксированные величины, удовлетворяющие условию .
-случайные величины (остатки), отражающие влияние на всех неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменной внутри отдельного уровня, удовлетворяющие следующим условиям:
- остаточная дисперсия.
При проверке гипотезы о равенстве двух средних выбранных уровней используется статистика
(2.74)
имеющая t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы .
Гипотеза отвергается при выполнении неравенства .
Для проверки гипотезы можно также использовать статистику с числом степеней свободы числителя и знаменателя .
При проверке гипотезы о значении генеральной средней используются статистики:
- для модели М1:
, (2.78)
имеющая F-распределение с числом степеней свободы числителя и знаменателя ;
Если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки, равной .
Выводим статистику
не СВ. – отклонение от общей средней, удовлетворяющей условию:
Выр. и через параметры модели; согласно 2 и 3 ->
Исп. -> - несмещ. оценки одной и той же величины ->
Согласно (1), (2) будем иметь = .
Отсюда несмещенные оценки /m-1 параметров.
; ;
и их мат. ожидания будут = ; (5)
(6)
Из 5 и 6 следует, что при отсутствии влияния фактора А, когда все , т.е. выполняется гипотеза, что ;
- несмещ. оценки одной и той же дисперсии , т.е.
, тогда статистика критерия
;
Проверка гипотезы о генеральной ср.
Сравнение с нормативом