- •Понятие генеральной совокупности и выборки. Эмпирические аналоги параметров генеральной совокупности. Два взгляда на выборку. Вероятностные свойства выборочных характеристик.
- •Выборочные моменты. Вывести формулы, устанавливающие связь между центральными и начальными выборочными моментами для
- •6. Достаточность точечной оценки. Критерий факторизации. Доказать достаточность средней арифметической , используемой в качестве оценки параметра λ пуассоновского закона распределения .
- •8. Точные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Вывести закон распределения в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности х.
- •9. Вывести закон распределения ( ) в предположении, что выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей х и у.
- •10. Доказать, что статистика имеет - распределение с (n-1) степенями свободы.
- •11. Доказать, что статистики и s2 , полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности, независимы.
- •12. Случайная величина и статистики, имеющие -распределение. Их применение при оценивании параметров и проверке гипотез.
- •13. Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.
- •14. Случайная величина и статистики, имеющие f-распределение, и их применение в математической статистике.
- •16. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.
- •19. Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной и неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия.
- •20. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей. ( это без лекций)
- •21. Проблема Беренса - Фишера. Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны и не равны.
- •22. Проверка предположения, что две выборки объемом n1 и n2 взяты из одной нормальной генеральной совокупности.
- •23. Проверка гипотез о значении дисперсии генеральной совокупности. Вычисление мощности критерия (Без вывода мощности)
- •24. Проверка гипотез об однородности дисперсий ряда генеральных совокупностей. Критерии Бартлетта и Кохрана.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае биноминального распределения.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения.
- •27.Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.
- •28.Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.
- •29. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.(нет)
- •30. Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •32. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •33. Двухфакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Особенности моделей м1, м2 и смешанных.
19. Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной и неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия.
1) известна
Пусть из генеральной совокупности, значения которой имеют нормальный закон распределения с неизвестным мат ожиданием и известной дисперсией Взята случайная выборка объемом n и пусть - выборочная средняя арифметическая, и - определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы H0: , при альтернативной гипотезе H1: используют статистику:
, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение N(0,1). Согласно требованию к критической области, при - ПКО, - ЛКО, - ДКО.
Границы критической области (tкр) находят по таблице интегральной ф-ции Лапласа Ф(t) из условий:
ПКО и ЛКО => , ДКО
Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки
=> гипотеза не противоречит опытным данным
Мощность критерия при заданной H1:
, , = =
Значение определим из условия
= (1-2 )= => = , = = +
, где
2)неизвестна
Пусть и S2 – среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной ген. совокупности X с неизвестными параметрами и . Тогда для проверки нулевой гипотезы H0: , при альтернативной H1: использую статистику: , которая при выполнении гипотезы H0 имеет распределения Стьюдента (t-распределение) с степенями свободы.
При - ПКО, - ЛКО, - ДКО.
Границы критической области (tкр) определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы : :
ПКО, ЛКО(односторонняя критическая область) ,ДКО
Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки
=> гипотеза не противоречит опытным данным
Мощность критерия (НАДО ВЫВЕСТИ)
, где
20. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей. ( это без лекций)
Пусть X и Y нормальные совокупности с известными дисперсиями и и неизвестными математическими ожиданиями и . Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом и . Пусть и - средние арифметические выборочных совокупностей. Для проверки гипотезы H0 : использую статистику:
Которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения.
При H1: => ПКО =>
H1: => ЛКО => H1: => ДКО => Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным
Пусть X и Y нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями и математическими ожиданиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки с параметрами , и , . На уровне значимости проверяется гипотеза H0 : . В основе критерия лежит статистика:
Которая при выполнении нулевой гипотезы H0 имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. При заданном уровне значимости выбор критической области зависит от конкурирующей гипотезы:
H1: - ПКО или H1: -ЛКО =>
H1: ДКО =>
Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным
НО! Прежде чем использовать этот критерий, нужно проверить его на применимость, проверив гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.
Пусть Х и У – генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки, объемами nx и ny , и пусть и - исправленные выборочные дисперсии,
причем , где Требуется проверить H0 : против альтернативной H1 : . Основой критерия является статистика: , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора(F-распределение) с и степенями свободы.
Для проверки выбирают ПКО. Границу критической области определяют из условия:
Если => гипотеза не противоречит опытным данным Если => гипотеза отвергается