6. Достаточность точечной оценки. Критерий факторизации. Доказать достаточность средней арифметической , используемой в качестве оценки параметра λ пуассоновского закона распределения .

Статистическая оценка параметра называется достаточной, если условное распределение не зависит от для всех возможных значений , содержит всю информацию об оцениваемом параметре. Достаточность определяют с помощью критерия факторизации, когда функция правдоподобия L(Х1,…,Хn/ ) может быть представлена в виде произведений двух сомножителей: 1-й зависит от и ,а 2-й от результатов наблюдения . То есть L(Х1,…,Хn/ ) = G ( ; ) * Н(Х1,…,Хn). Эффективная оценка является и достаточной. Статистика, полученная на основе критерия факторизации, является миинмально достаточной статистикой, для получения которой используются минимально возможная часть информации, содержащаяся в выборке.

Доказательство: L(Х₁,…,Х_n/ ) = = = оценка достаточна G ( ; ) Н(Х₁,…,Х_n).

7. Методы получения точечных оценок. Свойства оценок метода моментов и метода максимального правдоподобия. Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра p биномиального закона распределения по результатам k независимых выборок объемов , в которых некое событие произошло соответственно раз.

Метод моментов

Метод моментов предложил Карл Пирсон. Согласно этому методу по выборке определяется столько начальных моментов, сколько параметров имеет ЗР ген. сов.. Оценки параметров находят как функции от начальных моментов …

Например: -> 2 параметра -> для определения оценки параметров ищем и , а остальные параметры -> функции от, и , l=1…m Например, = ,

Оценки метода момента состоятельны, однако, их эффективность часто бывает значительно < 1.

Метод максимального правдоподобия

В 1925 Р. Фишер критикует метод моментов и предлагает метод максимального правдоподобия, основу которого составляет функция правдоподобия.

Пусть - выборка из генеральной совокупности Х с функцией плотности f(x; θ), где θ – вектор неизвестных параметров, которые подлежат оценке

Функция правдоподобия – вероятность или плотность вероятностей совместного наступления событий при заданном значении θ. Т. е L( |θ)= , т.к. взаимно независимые, в качестве вектор оценок θ_j принимается _j, который максимизирует L или ln L.

Свойства: 1)Если у существует эффективная оценка, то она совпадает с оценкой максимального правдоподобия. =

2) Если сущ. достаточная статистика параметра , - будет достаточной.

3) Асимпт. свойство – оценки максимального правдоподобия – состоятельные, асимптотически эффективные (n- , и имеют асимптотически нормальный закон распределения.

8. Точные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Вывести закон распределения в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности х.

Различают точечные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Точечными называют ЗР , справедливые при любых n. Асимптотическими называют ЗР , справедливые для

Если – случайная выборка из X € N(μ;σ), то также подчиняется нормальному з-ну распределения . Доказательство:

Рассмотрим понятие производящей функции СВ X, которая является функцией от t вида Производящая функция X € N(μ;σ) -

Из теоремы единственности следует, что каждому закону распределения соответствует определенная производящая функция и наоборот.

Производящая функция нормальной СВ

Производящая функция суммы независимых СВ равна произведению производящих функций этих величин. Тогда производящая функция

_,