- •1. Понятие марковских случайных процессов
- •2.Дискретный мсп с непрерывным временем. Вероятности состояний. Уравнение Колмогорова.
- •3. Потоки событий. Простейший поток.
- •4. Потоки Эрланга.
- •5. Системы массового обслуживания (смо). Простейший входной поток.
- •Простейшие входные потоки в смо
- •6. Одноканальные смо с отказами |м|м|1|0|
- •7 . Многоканальная смо с отказами |m|m|k|0|.
- •8. Одноканальная смо с ограниченной длинной очереди.
- •9. Многоканальная смо с ограниченной длиной очереди
- •10. Одноканальная смо с неограниченной длиной очереди
- •11. Многоканальная смо с неограниченной длиной очереди.
- •12. Смо с не-пуассоновскими потоками.
- •13. Одноканальная смо с неограниченной длинной очереди |m|g|1|.
- •14. Смо с взаимопомощью между каналами
- •15. Многоканальная смо с отказами
- •16. Многоканальная смо с неограниченной длиной очереди
- •17. Многоканальная смо с отказами
- •18. Многоканальная смо с ограниченной длиной очереди.
- •19. Линейные вероятностные сети (лвс).
- •20. Параметры лвс.
- •21. Определение характеристик разомкнутой лвс
- •22. Условие существования установившегося режима в рлвс.
- •23. Характеристики замкнутых лвс (злвс).
- •24. Модель вычислительного процесса, ориентированная на испытание лвс.
- •25. Представление вс лвс.
- •Система процессор-оп.
- •26. Классификация вс
- •27. Критерий эффективности вс.
- •28. Критерий эффективности вс.
- •29. Основн. Принципы построения сет. Моделей соо.
- •30. Замкнутая сетевая модель соо с одним селекторным каналом
- •31. Разомкнутая сетевая модель соо с одним селекторным каналом
- •Определение VI опт и числа однотипных устройств Ki для соо заданной стоимости.
- •37. Основные принципы построения сетевых моделей спо
- •38. Трехсистемная модель спо с двухуровневой памятью
- •39. Двух узловая модель спо. Двух системная модель спо с 2-х уровневой памятью.
- •40. Коэффициенты загрузки в сбалансированной спо (злвс).
- •45. Замкнутая смо
- •46. Смо с ошибками.
- •Приближенная замена в смо Марковских процессов не Марковскими.
1. Понятие марковских случайных процессов
Если объект переходит случайным образом из одного состояния в другое, то говорят, что в нем развивается случайный процесс.
Случайный процесс называется марковским, если для каждого момента t=t0 вероятность любого состояния системы в будущем, т.е. при t>t0 зависит только от состояния этой системы в настоящий момент времени, т.е. при t=t0 и не зависит от того, когда и каким путем система приняла это состояние. Т.е. в Марковском случайном процессе (МСП) развитие не зависит от прошлого этого процесса, а зависит только от настоящего. Назовем его процессом без предыстории или без последействия.
Существует несколько классов МСП.
МСП называется процессом с дискретными состояниями, если эти состояния можно перечислить, пронумеровать, если переход из одного состояния в другое происходит скачкообразно.
МСП называется непрерывным, если переход из одного состояния в другое происходит плавно.
МСП называется процессом с дискретным временем, если переход из одного состояния в другое осуществляется в строго определенные, фиксированные моменты времени.
МСП называется случайным процессом с непрерывным временем, если переход осуществляется в произвольные моменты времени.
Мы будем рассматривать дискретные МСП с непрерывным временем.
2.Дискретный мсп с непрерывным временем. Вероятности состояний. Уравнение Колмогорова.
Пусть задан НМСП, он может принимать n состояний:
S1, S2,…, Sn.
Последовательность этих состояний называют марковской цепью.
МСП удобно характеризовать вероятностью состояний Pi(t).
Введем понятие плотности вероятности перехода из состояния Si в состояние Sj и обозначим ее как .
При малых значениях с точностью до бесконечно малых величин высших порядков
Если не зависит от времени, то марковский процесс называется однородным, если зависит, то неоднородным.
Определение вероятностей состояний.
Н МСП удобно представлять в виде направленного графа.
Пример:
4 состояния: S1, S2, S3 , S4.
Возможны переходы:
P1(t)=?
(вероятность того, что система находится в состоянии S1 во время t)
Проанализируем развитие процесса. Система будет в состоянии S1 в двух случаях:
1. Если система в момент времени t находилась в состоянии S4 и за перешла в состояние S1.
2. Если в система в момент времени t находилась в состоянии S1 и за не перешла в S2.
Определим вероятности:
1 )
условная вероятность перехода
2)
Переходя к пределам и приравнивая к 0 получим:
Определим P2(t):
1) Если система в S1 и перешла за в S2
2) Если система в S3 и перешла за в S2
3) Если система в S2 и не перешла за ни в S3, ни в S4.
1)
2)
Делая преобразования, получим:
Эти уравнения называются уравнения Колмогорова. Решая их, можно определить вероятность любого состояния НМСП.
При t=0 P2=1, P1=P3=P4=0 {0, 1, 0, 0}
Уравнения легко записать по механическому правилу:
В левой части производная от соответствующего состояния по времени, правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждый член равен произведению вероятности того состояния из которого он выходит на соответствующую плотность вероятности перехода. Каждый член со знаком "+", если стрелка входит в состояние, и "-", если выходит.
Это правило справедливо для всех МСП с непрерывным временем.
Для получения уравнений для предельных вероятностей состояний надо производные в уравнение Колмагорова приравнять к нулю.
S1: 0= λ41P’4(t)- λ12P1(t)
Механическое правило
Сумма членов, соотв. выходным стрелкам равна сумме членов соотв. входным стрелкам. А каждый член равен произведению вероятностных состояний на плотность вероятности перехода.
Каждая из этих вероятностных состояний физически означает среднюю относительную долю времени, в течении которого система находится в данном состоянии.