Тема 8. Теория вероятностей и математическая статистика

8.1.Элементы теории множеств и комбинаторики. Множества и операции над ними. Алгебры и –алгебры подмножеств. Выборки из конечной генеральной совокупности: упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты. Бином Ньютона. Полиномиальная теорема.

8.2.Аксиоматика теории вероятностей. События. Вероятностные пространства. Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей. Классическое определение вероятности.

8.3. Независимость событий и условные вероятности. Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

8.4. Классические вероятностные схемы и классические предельные теоремы. Конечное вероятностное пространство с классическим типом вероятности. Вероятностное пространство с геометрическим типом вероятности. Биномиальная и полиномиальная схемы независимых испытаний. Формулы для вычисления вероятностей стандартных событий. Классические предельные теоремы теории вероятностей: теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона.

8.5.Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Вычислительные формулы для математических ожиданий дискретных и абсолютно случайных непрерывных величин. Математические ожидания и дисперсии типовых распределений. Моменты случайных величин. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Ковариация и коэффициент корреляции, их свойства.

8.6. Сходимость случайных величин и предельные теоремы. Основные виды сходимости последовательностей случайных величин и соотношения между ними. Закон больших чисел. Теорема Маркова, теорема Чебышева, теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

8.7.Основные понятия математической статистики. Статистическая структура. Параметрическая и непараметрическая статистические структуры. Основные задачи математической статистики. Случайная выборка, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма, статистика. Выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты.

8.8.Точечное и интервальное оценивание параметров распределений. Точечные оценки параметров распределений. Несмещенные оценки, состоятельные оценки. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание параметров распределений. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения в случаях, когда неизвестными являются один из параметров.

8.9. Проверка статистических гипотез по выборкам фиксированного объема (параметрическая статистика). Задача проверки статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерии проверки гипотез. Критическая область. Ошибки 1-го и 2-го родов при проверке гипотез. Уровень значимости и мощность критерия. Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерий. Лемма Неймана-Пирсона.

8.10. Проверка статистических гипотез по выборкам фиксированного объема (непараметрическая статистика). Непараметрическая статистическая структура. Критерии согласия. Критерий согласия ².