Тема 4. Дифференциальное исчисление

4.1.Производная и дифференциал первого порядка. Производная и дифференциал функции. Связь с непрерывностью. Геометрическое и механическое истолкование производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференцируемость функции, необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Таблица производных и дифференциалов основных элементарных функций. Производная и дифференциал суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и обратной функции.

4.2.Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков. Механическое истолкование второй производной. Дифференциалы высших порядков.

4.3.Приложения дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке. Нахождение максимумов и минимумов функции с помощью производных. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на замкнутом промежутке. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей. Касательная к плоской кривой. Выпуклость и вогнутость плоской кривой. Точки перегиба графика функции, их нахождение. Асимптоты. Построение графика функции на основе ее полного анализа.

Тема 5. Интегральное исчисление

5.1.Неопределенный интеграл. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.

5.2. Определенный интеграл. Задача вычисления площади криволинейной трапеции и другие задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы. Интеграл Римана (определенный интеграл). Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Дифференцирование интеграла по переменному верхнему или нижнему пределу. Связь определенного интеграла с неопределенным; формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям. Геометрические приложения

Тема 6. Ряды

6.1.Числовые ряды. Числовой ряд. Сходимость и расходимость ряда. Критерий Коши. Основные свойства числового ряда. Ряды с неотрицательными членами и признаки их сходимости: признак сравнения рядов, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды: признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды, их свойства. Операции над рядами: сложение и умножение сходящихся рядов, группировка и перестановка членов ряда.

6.2. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Ряды Фурье и преобразование Фурье.

Тема 7. Элементы высшей алгебры

7.1.Основные понятия общей алгебры. Множество. Бинарные отношения. Упорядоченные и частично упорядоченные множества. Функции и отображения. Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.

7.2. Конечные группы. Теорема Кэли. Подгруппа. Смежные классы. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Теорема об индексах двух подгрупп. Циклические группы. Число образующих циклической группы. Сопряженные элементы и классы. Теорема о числе сопряженных множеств.

7.3. Кольца, модулярная арифметика. Кольцо целых чисел. Делимость, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Сравнения и их свойства. Классы вычетов. Обратимость. Критерий обратимости в кольце вычетов. Алгоритм вычисления обратного элемента в кольце вычетов. Функция Эйлера и ее свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Кольцо многочленов над полем. Неприводимые многочлены

7.4. Конечные поля. Простое поле. Характеристика поля. Строение конечного поля. Число элементов в конечном поле. Примитивный элемент и его существование. Алгоритм вычисления примитивного элемента. Число примитивных элементов. Дискретный логарифм.