36. Метод вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа) решения ЛНДУ.
Для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:
,
(8.1)
где
– линейно независимые на некотором
интервале X
решения лоду, а
-
произвольные постоянные. Будем искать
частное решение лнду в форме (8.1), считая,
что
– не постоянные, а некоторые, пока
неизвестные, функции от
:
.
(8.2)
Продифференцируем равенство (8.2):
.
(8.3)
Подберем
функции
и
так, чтобы выполнялось равенство:
.
Тогда вместо (8.3) будем иметь:
.
(8.4)
Продифференцируем это выражение еще раз по . В результате получим:
.
(8.5)
Подставим
(8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка
f(x):
f(x)
или
f(x).
(8.6)
Так
как
- решения лоду
,
то последнее равенство (8.6) принимает
вид:
f(x).
Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если функции и удовлетворяют системе уравнений:
(8.7)
Так
как определителем этой системы является
определитель Вронского для двух линейно
независимых на X
решений соответствующего лоду, то он
не обращается в ноль ни в одной точке
интервала X.
Следовательно, решая систему (8.7), найдем
и
:
и
.
Интегрируя, получим:
,
,
где
- произвольные постоянные.
Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного уравнения:
37.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнение имеет вид:
,
(2.1)
где
- постоянные вещественные числа. Это
уравнение имеет фундаментальную систему
решений
,
определенную при всех
и состоящую из степенных, показательных
и тригонометрических функций.
Соответствующее ей общее решение:
определено
в области
,
т.е. во всем пространстве
.
Построение
фундаментальной системы решений лоду
делается методом Эйлера.Подставляя эту
функцию в уравнение (2.1), после сокращения
на
получим характеристическое уравнение:
Его корни называются характеристическими числами уравнения (2.1). Различают три случая.
Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через
.
Тогда фундаментальной системой решений
будут:
,
а общее решение имеет вид:
.Все корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные. Записав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).
Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.
Записав линейно независимые частные решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).