- •1. Определение первообразной и её свойства
- •2. Неопределённый интеграл,таблица основных интегралов
- •3. Инвариантность формул интегрирования
- •4.Непосредственное интегрирование
- •5,Интегрирование методом замены переменной(метод подстановки)
- •6. Метод интегрирования по частям
- •7.Примеры интегрирования рациональных функций
- •8 .Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •9.Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей
- •10.Интегрирование иррациональных функций
- •14. Определенный интеграл
- •15.Методы вычисления определенного интеграла
- •17. Формула Ньютона Лейбница
- •20. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •21. Задача Коши.
- •22.Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •23. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Уравнения вида
- •24. Ду с однородными функциями
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Преобразованное уравнение является линейным относительно и . Решив его, найдем общий интеграл уравнения Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли
- •27.Уравнение в полных дифференциалах
- •Уравнение может быть записано в виде
- •28.Ду высших порядков…..
- •31.Свойства решений лоду
- •32. Определитель Вронского
- •33. Структура общего решения лоду
- •36. Метод вариации произвольных постоянных
- •38.Лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
9.Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей
Пример .
– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .
Корни знаменателя: - кратности 2 и – простые корни.
Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:
.
Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:
.
Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.
Откуда , , .
Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты при слева и справа в тождестве.
Получим уравнение: Откуда .
Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.
10.Интегрирование иррациональных функций
Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.Наиболее часто встречаются иррациональности вида:
; – несократимые дроби.
Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .
;
Подстановка: , где н.о.к. .
.
Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.
; Подстановка: , .
; Подстановка: , .
; Подстановка: , .
Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .
;
Подстановка: , где н.о.к. .
.
Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.
приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.
12-13. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.
− рациональная функция от и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от универсальной тригонометрической подстановкой:
, .
Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.
Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.
.
Где и – целые положительные числа. Если и – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,
, .
Пример
=
=
Если одно из чисел или – нечетное, или и – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену (или ) – .
Пример = = = .