Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫШКА ШПОРЫ.docx
Скачиваний:
11
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
732.65 Кб
Скачать

9.Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей

Пример .

– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .

Корни знаменателя: - кратности 2 и – простые корни.

Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:

.

Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:

.

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Откуда , , .

Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты при слева и справа в тождестве.

Получим уравнение: Откуда .

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

10.Интегрирование иррациональных функций

Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

  1. ; – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

  1. ;

Подстановка: , где н.о.к. .

  1. .

Подстановка: , где н.о.к.  приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

  1. ; Подстановка: , .

  2. ; Подстановка: , .

  3. ; Подстановка: , .

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

  1. ;

Подстановка: , где н.о.к. .

  1. .

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

  1. приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

12-13. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

− рациональная функция от и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от универсальной тригонометрической подстановкой:

, .

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

  1. .

Где и – целые положительные числа. Если и – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

, .

Пример

=

=

  1. Если одно из чисел или – нечетное, или и – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену (или ) – .

Пример = = = .